1.2矩形的性质与判定 同步培优提升训练 2021—2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步培优提升训练（附答案）
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，对角线AC的长度为（　　）
A．12 B．6.5 C．13 D．10
2．矩形和菱形都具有的性质是（　　）
A．有一组邻边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．矩形ABCD的两条对角线的一个夹角为120°，两条对角线的长度之和为24cm，则这个矩形的一条短边的长为（　　）cm．
A．6 B．12 C．24 D．48
6．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的点，DF⊥AE于点F，且DF＝AB，下列结论不正确的是（　　）
A．DE平分∠AEC B．△ADE为等腰三角形
C．AF＝AB D．AE＝BE+EF
7．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（　　）
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
9．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）
10．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（　　）
A．14 B．19 C．18 D．16
12．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF等于（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（　　）
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）
A．1.2 B．1.25 C．2.4 D．2.5
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若E、F分别为AO，AD的中点，若AC＝24，则EF的长为　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE＝3∠EAB，则∠EAC的度数为　 　．
17．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长为　 　．
18．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝3，点E是AB的中点，点P在边DC上运动，若△APE是腰长为5的等腰三角形，则DP的长为　 　．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为　 　．
20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．
21．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，求AP的长．
22．如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD＝EF．
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠AOB＝60°，BD＝4，求四边形BCDE的面积．
24．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ＝CD．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝12，
∵AD＝5，
∴在Rt△ADC中，
AC＝＝＝＝13，
故选：C．
2．解：矩形的性质是：①矩形的四个角度数直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形和菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，AB＝2，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，
∵点E是CD的中点，FC＝2BF，
∴CE＝DE＝1，BF＝1，CF＝2，
∴AB＝CF＝2，CE＝BF＝1，
在△ABF和△FCE中，
，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，
∵∠B＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CFE+∠AFB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣（∠CFE+∠AFB）＝180°﹣9°＝90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
故选：B．
4．解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，
∴CE＝＝13．
∴PC+PB的最小值为13．
故选：D．
5．解：如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，两条对角线的长度之和为24cm，
∴AC＝BD＝12cm，OA＝OB＝AC＝6cm，
由题意可知，∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6cm．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠FED＝∠CED，
∴DE平分∠AEC；
故A正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△AFD中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形；
故B正确；
∵△ABE≌△DFA，
∴不存在AF＝AB，
故C错误；
∵△ABE≌△DFA，
∴BE＝FA，
∴AE＝AF+EF＝BE+EF．
故D正确．
故选：C．
7．解：如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，
∴BP1＝t＝3，
∴t＝3．
故选：B．
8．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．
故选：A．
9．解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，
∴∠CEO＝∠AFB＝90°，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC，AB∥OC，
∴∠ABF＝∠COE，
∴△OCE≌△ABF（AAS），
同理△BCE≌△OAF，
∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，
∵A（2，1），B（0，5），
∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，
∴OE＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）；
故选：D．
10．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∵MP＝AE＝2
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6，
∴S阴＝6+6＝12，
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AO＝OC，
∴BO＝AC＝5，
∵AO＝OC，AM＝MD＝4，
∴OM＝CD＝3，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．
故选：C．
12．解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：C．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．
14．解：连接AP，如图：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：C．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝24，OA＝OB＝OD＝OB＝12，
∵E、F分别为AO，AD的中点，
∴EF＝OD＝6，
故答案为：6．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的对角线且相交于O，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵∠DAE＝3∠BAE，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°．
∵在矩形ABCD，∠DAE+∠ADB＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE＝67.5°，即∠BAC＝∠ABD＝67.5°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45°．
17．解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵S△ADC＝×AD×CD＝×AC×DE，
∴DE＝＝，
故答案为：．
18．解：∵AB＝10，E为AB的中点，
∴AE＝BE＝5，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝3，
∴AD＝BC＝3，∠D＝90°，
有三种情况：①AP＝PE＝5，作AE的垂直平分线MN，MN交AB于N，
此时P在AE的垂直平分线MN上，
即AN＝NE＝2.5，则DP＝AN＝2.5，
∵AD2+DP2＝32+2.52≠52，
即此时不存在；
②当AP＝AE＝5时，由勾股定理得：DP＝＝＝4；
③当PE＝AE＝5时，有P和P′两种情况，过P作PN⊥AB于N，
由勾股定理得：NE＝＝＝4，
即DP＝5﹣4＝1；DP′＝5+4＝9，
所以DP的长是4或1或9，
故答案为：4或1或9．
19．解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠DCB＝90°，
∵点F是CD中点，点O是BC的中点，
∴CF＝，CO＝2，
∴OF＝＝，
∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点，
∴OE＝OC＝2，
∵根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF，
∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF＝2+＝．
故答案为：．
20．（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝4：3，
∴∠AOB：∠ABO＝4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，
∴∠ABO＝54°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣54°＝36°．
21．解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝20，
∴BQ＝10，
①当BP＝PQ时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1所示：
则BM＝MQ＝5，且四边形ABMP为矩形，
∴AP＝BM＝5，
②当BQ＝BP时，则BP＝10，在Rt△ABP中，AB＝8，由勾股定理可求得AP＝6，
③当PQ＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2所示：
过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝6，
则AR＝4，AS＝16，
即R、S为满足条件的P点的位置，
∴AP＝4或16，
综上可知AP为4或5或6或16，
故答案为：4或5或6或16．
22．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∵EF＝BF+BE，
∵BC＝CE+BE，BF＝CE，
∴EF＝BC，
∴AD＝EF．
23．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AC＝BD，AB∥CD，
又∵DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC，CD＝AE，
∴DE＝BD；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO＝2，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝2＝CD＝AE，
∴AD＝＝＝2，
∴四边形BCDE的面积＝×2×2+2×2＝6．
24．解：（1）设经过x（s），四边形PQCD为平行四边形
即PD＝CQ
所以24﹣x＝3x，
解得：x＝6．
（2）设经过y（s），四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
所以y＝26﹣3y，
解得：y＝．
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．
过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，
∴∠QEP＝∠DFC＝90°
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴PQ＝DC．
又∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴AB＝QE＝DF．
在Rt△EQP和Rt△FDC中，
，
∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．
∴FC＝EP＝BC﹣AD＝26﹣24＝2．
又∵AE＝BQ＝26﹣3t，
∴EP＝AP﹣AE＝t﹣（26﹣3t）＝2．
得：t＝7．
∴经过7s，PQ＝CD．