2021-2022学年九年级数学北师大版上册《1.1菱形的性质与判定》能力达标提升训练（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
能力达标提升训练（附答案）
一．选择题
1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（　　）
A．24 B．20 C．10 D．5
3．如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．∠ADB＝90° B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC
4．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是（　　）
A．四边形ACFD是平行四边形 B．BD2+FD2＝BF2
C．OE＝BD D．面积关系：S△GEO＝S△ADO
6．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（　　）
A．36° B．54° C．64° D．72°
7．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（　　）
A． B． C．2 D．
8．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是（　　）
A．1.5 B．1 C．2 D．4
9．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题
10．菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为 　 　．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　 　．
12．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为　 　．
13．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为 　 　.（结果保留根号）
14．如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBC＝80°，则∠ACB＝　 　°．
15．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　 　．
16．如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为9cm2和64cm2，CD落在EF上，∠A＝∠E，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是　 　cm2．
三．解答题
17．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．
18．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形BEDF是菱形．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
20．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
参考答案
一．选择题
1．解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
2．解：如图所示，
根据题意得AO＝×6＝3，BO＝×8＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝＝5，
∴此菱形的周长为：5×4＝20．
故选：B．
3．解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，
不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
4．解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，
∵CF＝BC，
∴CF＝AD，
∴四边形ACFD是平行四边形，故选项A不合题意；
∴AC∥DF，DG＝GC，
∴BD⊥DF，
∴BD2+FD2＝BF2，故选项B不合题意；
∵DG＝GC，AE＝EC，
∴EG∥AD，AD＝2EG，
∴S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，故选项C符合题意，选项D不合题意，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO＝CO，
又∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，
故选：B．
7．解：设AC交BD于O，如图：
∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝2，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，
Rt△AOD中，OD＝AD＝1，OA＝＝，
∴AC＝2OA＝2，
Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP，
Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP，
∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，
∴PE﹣PF＝，
故选：B．
8．解：如图，连接BP，
∵菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，
∴AB＝BC＝＝3（cm），S△ABC＝＝3（cm2），
∵S△ABC＝S△ABP+S△BPC，
∴3＝AB?PF+BC?PE，
∴3＝×3×PE+×3×PF＝（PE+PF），
∴PE+PF＝2（cm），
故选：C．
9．解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
在△ABC和△EFA中，
，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴FH∥BC，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴BD＝4FH，故④正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠FEA，
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB＝AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AB＞AC，
∴AD＞AE，
∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；
∵AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③正确，
故选：C．
二．填空题
10．解：当AF在AD上方时，如图，延长FA交BC于E，
∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴BE＝3，AE＝3，
S菱形ABCD＝BC×AE＝6×＝18，
∴S△ABD＝＝9，
S△ABF＝，
S△ADF＝，
∴S△BDF＝S△ABD+S△ABF+S△ADF＝9，
当AF在AD下方时，如图，
则S△BDF＝S△ABF+S△ADF﹣S△ABD＝27﹣9，
故答案为：27+9或27﹣9．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
12．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝30°，
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABC＝30°，AE＝2，
∴BC＝AB＝2AE＝4，
∴四边形ABCD的面积＝BC?AE＝4×2＝8，
故答案为：8．
13．解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，
又∵∠MCE＝15°，
∴∠DCF＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF＝35°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝35°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DF＝DH＝，
∴DB＝2，
故答案为2．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DAC＝∠BAC，
∴∠AFB＝∠FBC＝80°，∠DAC＝∠ACB，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA＝（180°﹣∠AFB）＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC＝25°，
∴∠ACB＝25°，
故答案为：25．
15．解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，
∵A（0，4），B（8，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，
∴CA＝CB＝8﹣m，
在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5，
∴D（5，4）；
当AB为菱形的边时，如图2，
AB＝＝4，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，
∴D（4，4），
综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）．
故答案为（5，4）或（4，4）．
16．解：如图，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是菱形，∠A＝∠E，
∴∠ADC＝∠EFG，∠BDC＝∠ADC＝∠EFH＝∠EFG，△BDC的面积＝×S菱形ABCD＝4.5（cm2），
∴BD∥FH，
∴△BDH的面积＝△BDF的面积，
∴△BDH的面积＝S△BDC+S△BCF＝8.5（cm2），
故答案为8.5．
三．解答题
17．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴CE＝CF．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
19．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．
20．解：（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG＝，
∴AB＝BG＝．