2021-2022学年九年级数学北师大版上册《1.1菱形的性质与判定》同步优生辅导训练（word版含答案）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
2．已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
3．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，则菱形ABCD的面积是（　　）
A． B．8 C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（　　）
A．5 B．7 C．8 D．6.5
6．如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点D的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（　　）
A．5 B． C． D．
8．如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形ABCD的边长为20cm，若A，E间的距离调节到60cm时，则这个活动衣帽架所围成的面积为（　　）
A．600cm2 B．600cm2 C．450cm2 D．900cm2
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，点O是对角线BD的中点，OE⊥CD于点E，则OE的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．2
10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（　　）
A．2 B．2 C． D．
11．如图，菱形中，对角线、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的面积为24，OA＝3，则OE的长等于（　　）
A． B． C．5 D．
12．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．
13．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线AC＝16，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG长为（　　）
A．13 B．10 C．12 D．5
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE的大小为定值．其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．5
16．如图，已知AB＝6，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE．点P、C、E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N别是对角线AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为　 　．
17．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝2，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为　 　．
18．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝　 　．
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连接EF，若∠CEF＝30°，AE＝，直接写出四边形ABCD的周长．
参考答案
1．解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
故选：C．
2．解：①?ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故①正确；
②?ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故②错误；
③?ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故③正确；
D、?ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故④错误．
故选：A．
3．解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝3，
∵∠ABC＝60°，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝，AM＝BM＝，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AM＝3×＝；
故选：D．
4．解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴＝8，即ab＝16，
S△AEF＝＝ab＝3．
故选：B．
5．解：作CH⊥AB于H，如图，
∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，
∵PB＝3，
∴HP＝1，
在Rt△CHP中，CP＝＝＝7，
∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，
∴∠APQ＝∠CPQ，而CD∥AB，
∴∠APQ＝∠CQP，
∴∠CQP＝∠CPQ，
∴CQ＝CP＝7．
故选：B．
6．解：∵A（0，3），B（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5．
∵3﹣5＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
故选：D．
7．解：在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?EF，
即×6×8＝5EF，
∴EF＝．
故选：C．
8．解：连接AE，如图所示：
∵AE间的距离调节到60cm，木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，
∴AC＝AE＝20（cm），
∵菱形ABCD的边长为20cm，
∴AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴这个活动衣帽架所围成的面积为：3S菱形ABCD＝3×2S△ABC＝3×2×AC2＝×202＝600（cm2），
故选：B．
9．解：连接OA，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，点O是对角线BD的中点，
∴AD＝AB＝8，AO⊥BD，
∴∠ADB＝∠CDB＝（180°﹣120°）＝30°，
在Rt△AOD中，OD＝4，
∵OE⊥CD，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△DOE中，OE＝OD＝×4＝2，
故选：A．
10．解：过点A作AE⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，
∵∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝2，AE＝2．
即边AD与BC之间的距离为2．
故选：B．
11．解：∵菱形的对角线、BD交于点O，OA＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∵菱形ABCD的面积为24，
∴＝24，
∴BD＝8，DO＝4，
又∵AC⊥BD，
∴AD＝＝＝5，
又∵E为AD边中点，
∴OE＝AD＝，
故选：A．
12．解：在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，
∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD＝，
∴AB＝＝＝3，
∵DH×AB＝AC×BD，
∴DH＝＝2，
∴BH＝＝＝2，
故选：C．
13．解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为10，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝10，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝16，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝8，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，DO＝＝＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∴EG＝BD＝12，
故选：C．
14．解：∵ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°＝∠DBC，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB，故①、②正确；
当点E，F分别是AB，AD中点时，
由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，
∵点E，F分别是AB，AD中点，
∴∠BDE＝∠DBG＝30°，
∴DG＝BG，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG＝∠BCG，
∴CH⊥BD，
即CG⊥BD，故③错误；
∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：B．
15．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AF＝CD?AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝＝4，
故选：A．
16．解：连接PM、PN，如图所示：
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2x，则PB＝6﹣2x，PM＝x，PN＝（3﹣x），
∴MN＝＝，
∴x＝时，点M，N之间的距离最短，最短距离为，
故答案为：．
17．解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故答案为：．
18．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即BD?AG＝AB?OE+AD?OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
19．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根据勾股定理得，FG＝，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF＝＝＝4．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠CEF＝30°，AE⊥BC，
∴∠AEF＝60°，
由（1）知，△AEB≌△AFD，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝30°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB，
∴AB＝2BE，
∵AB2＝BE2+AE2，AE＝2，
∴（2BE）2＝BE2+（2），
∴BE＝2，
∴AB＝4，
∵由（1）知，四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长＝4AB＝16．