《1.2矩形的性质与判定》能力达标提升训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
能力达标提升训练（附答案）
1．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（　　）
A． B． C． D．8
2．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，
其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
4．如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　）
A．4 B．2 C．5 D．4
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CD＝3，若AE垂直平分OB于点E，则BC的长是（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A．3 B． C． D．4
7．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
10．如图，已知E为矩形纸片ABCD的边DC上一点，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点C恰好落在边AD上的点F处，若AB＝6，AD＝10，则DE的长为（　　）
A．2 B．
C．3 D．
11．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝3，将长等于宽2倍的可变矩形EFGH（BE＞EF）如图放置，使 E、B、C在同一直线上，则阴影部分面积为（　　） cm2．
A．8 B．9 C．8 D．9
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（　　）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
13．在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是矩形，点A（3，2），B（﹣3，2），C（﹣3，﹣2），则这个矩形的面积为（　　）
A．24 B．12 C．6 D．48
14．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB：③S△AOE＝S△COE，其中正确结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
17．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为　 　．
18．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝　 　．
19．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　 　．
20．如图，在直角△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
22．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PQ的长．
23．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
参考答案
1．解：由折叠的性质得BF＝EF，AE＝AB，
因为CD＝6，E为CD中点，故ED＝3，
又因为AE＝AB＝CD＝6，
所以∠EAD＝30°，
则∠FAE＝（90°﹣30°）＝30°，
设FE＝x，则AF＝2x，
在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2＝62+x2，
x2＝12，x1＝2，x2＝﹣2（舍去）．
AF＝2×2＝4．
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAC＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC＝60°，DC＝AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC＝OD，
∴BE＝BO，
∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣∠OBE）＝75°，
∵∠AOB＝∠DOC＝60°，
∴∠AOE＝60°+75°＝135°，∴③正确；
∵OA＝OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE＝S△COE，∴④正确；
故选：C．
3．解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
4．解：连接AC，
∵点A（4，﹣2），点C（1，2），
∴AC＝＝5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝5，
∴点B的横坐标为5，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，AB＝CD，∠BCD＝90°，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∵CD＝3，
∴AO＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
在Rt△BCD中，
∴BC＝＝＝3；
故选：B．
6．解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
7．解：作EF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴BE＝，
∴BF＝，
∴EF＝＝，
∴CF＝3﹣＝，
在Rt△CFE中，CE＝＝．
故选：D．
8．解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∠D＝90°，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝，
∵S△ABE＝S矩形ABCD＝3＝?AE?BF，
∴BF＝．
故选：B．
9．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）
故选：C．
10．解：设DE＝x，则CE＝6﹣x，
由翻折的性质得，
∵BC＝BF＝10,AB＝6,
∴AF＝8,
∴DF＝AD﹣DF＝10﹣8＝2,
在Rt△DEF中，
∵EF＝CE＝6﹣x，
∴DE2+DF2＝EF2,
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得：x＝．
即DE＝．
故选：B．
11．解：设FG＝2a，GB＝a，
则S阴影＝S△AFG+S矩形ABCD+S矩形EFGB﹣S△ADC﹣S△FEC
＝AG?FG+FG?BG+AD?DC﹣EF?（EB+BC）﹣AD?DC
＝（3﹣a）?2a+2a?a+6×3﹣a?（2a+6）﹣×6×3
＝3a﹣a2+2a2+18﹣a2﹣3a﹣9
＝9，
故选：B．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB═OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故选：D．
13．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，点A（3，2），B（﹣3，2），C（﹣3，﹣2），
∴AB＝3+3＝6，BC＝2+2＝4，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝6×4＝24，
故选：A．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
∴2AB＞BC，故②错误；
∵OA＝OC，
∴S△AOE＝S△COE，故③正确；
正确的结论有2个，
故选：C．
15．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
16．解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：C．
17．解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，
∴AG＝DG，
∴∠ADG＝∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠CED，
∴∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠CED，
∵∠AED＝2∠CED，
∴∠AED＝∠AGE，
∴AE＝AG＝4，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝．
故答案为：．
18．解：连接PO，过D作DM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD＝5，AD＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
由勾股定理得：AC＝13，
∴OA＝OD＝6.5，
∵S△ADC＝×12×5＝×13×DM，
∴DM＝，
∵SAOD＝S△APO+S△DPO，
∴AO×PE+OD×PF＝×AO×DM，
∴PE+PF＝DM＝，
故答案为：．
19．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
20．（1）证明：连接DE．
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∵点D是边AB的中点，
∴AD＝AB．
∴AD＝EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC．
∵在直角△ABC中，点F是边BC的中点，
∴BC＝2AF，
∴DE＝AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC＝∠FEC＝90°，
∵AF＝2，
∴BC＝4，CF＝2，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2，CE＝，EF＝1，
∴AE＝，
∴矩形ADFE的周长＝2+2．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝．
22．（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB＝PE，OB＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE＝QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，
∴AE+BE＝2OF+2OB＝18，
设AE＝x，则BE＝18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2，
解得x＝8，
BE＝18﹣x＝10，
∴OB＝BE＝5，
设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，解得y＝，
在Rt△BOP中，PO＝＝，
∴PQ＝2PO＝．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（2）解：由（1）得：MN＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴MN＝2．