《1.2矩形的性质与判定》优生辅导提升训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》优生辅导提升训练（附答案）
一．选择题（共9小题）
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝32，BC＝24，过对角线AC中点O的直线分别交AB、CD于点E、F，连接AF、CE．当四边形AECF是菱形时，EF的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
2．如图，矩形ABCD的周长是28，点O是线段AC的中点，点P是AD的中点，△AOD的周长与△COD的周长差是2（且AD＞CD），则△AOP的周长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．下列选项中，矩形具有的性质是（　　）
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
5．矩形的一边长是4cm，一条对角线的长是4cm，则矩形的面积是（　　）
A．32cm2 B．32cm2 C．16cm2 D．8cm2
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOD＝60°，AC＝6，则图中长度为3的线段有（　　）
A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
7．已知?ABCD的对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，?ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，?ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，?ABCD是矩形 D．当∠ABD＝∠CBD时，?ABCD是矩形
8．下列说法中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形
C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分
9．下列各种判定矩形的说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有三个角相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
二．填空题（共7小题）
10．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则矩形ABCD的面积为　 　．
11．矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为　 　cm．
12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC＝　 　．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝　 　．
14．如图，四边形ABCD的对角线相互平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是　 　．
15．对角线　 　四边形是矩形．
16．任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到　 　度时，就变成了矩形；当它的一组邻边变到　 　时，就变成了菱形．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝3，∠AOD＝120°，求BC的长度．
19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，∠BAD的角平分线AE与边BC交于点E，且BE：EC＝4：3，连接DE．
（1）试求DE的长度．
（2）若要使∠AED＝90°，则此时矩形的另一边长为多少．
20．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，DF⊥AE于点F，求证：∠AEB＝∠CDF．
21．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，求矩形ABCD的面积．
22．已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P．
①求证：四边形CODP是菱形．
②若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积．
23．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE＝AD，又DF⊥AE于点F
（1）求证：CE＝EF；
（2）若EF＝2，CD＝4，求矩形ABCD的面积．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC＝∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．
参考答案
一．选择题（共9小题）
1．解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝90°
∴AC＝＝40
∵四边形AECF是菱形
∴AE＝EC，AO＝CO，EO＝FO，AC⊥EF
∴AO＝CO＝20
∵EC2＝BE2+BC2，
∴AE2＝（32﹣AE）2+576
∴AE＝25
∴EO＝＝15
∴EF＝2EO＝30
故选：D．
2．解：设AB＝n，BC＝m，
由题意：，
∴，
∵∠B＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AP＝PD＝4，OA＝OC＝5，
∴OP＝CD＝3，
∴△AOP的周长为3+4+5＝12，
故选：A．
3．解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，
∴选项C正确
故选：C．
4．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，
∴OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，
∴∠CAD＝25°，
故选：B．
5．解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝4cm，BD＝AC＝4cm，
∴AD＝＝4
∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16cm2，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝3，AB＝CD
∵∠BOC＝120°，OA＝OB
∴∠OAB＝∠OBA＝60°
∴△AOB是等边三角形
∴AB＝AO＝3
∴CD＝3
∴一共6条线段长度为3．
故选：D．
7．解：A、根据菱形的定义可得，当AB＝AD时?ABCD是菱形；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，?ABCD是菱形；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，命题正确；
D、当∠ABD＝∠CBD时，对角线平分∠ABC，?ABCD是菱形，故命题错误．
故选：D．
8．解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴A不正确；
∵对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴B不正确；
∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，
∴C不正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴D正确；
故选：D．
9．解：A、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形；
B、错误．有三个角相等的四边形不一定是矩形；
C、正确；
D、错误．对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝4，∠ADB＝30°，
∴BD＝8，
∴AD＝＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?AD＝4×4＝16，
故答案为：16．
11．解：如图：AB＝12cm，∠AOB＝60°．
∵四边形是矩形，AC，BD是对角线．
∴OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC．
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴OA＝OB＝AB＝12cm，BD＝2OB＝2×12＝24cm．
故答案为：24．
12．解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴AC＝2OA＝4，
故答案为：4．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴AC＝BD＝2AB＝8，
∴OC＝AC＝4；
故答案为：4
14．解：添加条件：AC＝BD，四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵四边形ABCD的对角线相互平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
15．解：由对角线互相平分且相等的四边形为矩形可知，
故填：互相平分且相等．
16．解：因为平行四边形两组对边分别平行且相等，所以当一个锐角增加为90°时，四个角都是90°，可得其为矩形；
当平行四边形的一组邻边相等时，四条边都相等，所以四边形是菱形．
故答案为：90，相等．
三．解答题（共8小题）
17．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵点E是AO的中点，点F是OD的中点
∴OE＝OA，OF＝OD，
∴OE＝OF，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴BE＝CF．
18．解：（1）∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BE＝DF，
∴BD﹣BE＝BD﹣DF即DE＝BF，
在△ADE和△CBF
∵，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF．
（2）∵矩形ABCD
∴AC＝BD
∵，
∴AO＝DO
∴
∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝6，
∴
∴．
19．（1）解：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴BE＝AB＝DC＝4，
∵BE：EC＝4：3
∴EC＝3，
在Rt△DCE中，∠C＝90°，DE＝；
（2）要使∠AED＝90°则
在Rt△ABE中，∠B＝90°，AE2＝42+42＝32
∵AD＝BC＝BE+EC＝4+3＝7
∴AD2＝49，
∵AE2+DE2＝57≠AD2，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝90°不存在．
20．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
∵DF⊥AE于点F，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAF．
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠CDF．
21．解：∵在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，BD＝4，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD＝4，
∴AB＝AC＝2，
∴BC＝＝2，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝4．
22．证明：①∵DP∥AC，CP∥BD
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∴四边形CODP是菱形．
②∵AD＝6，AC＝10
∴DC＝＝8
∵AO＝CO
∴S△COD＝S△ADC＝××AD×CD＝12
∵四边形CODP是菱形，
∴S△COD＝S菱形CODP＝12，
∴S菱形CODP＝24
23．证明：
（1）如图，连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°．
又∵AD＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△DFA．
∴AB＝CD＝DF．
又∵∠DFE＝∠C＝90°，DE＝DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE．
∴EC＝EF；
（2）∵EF＝EC＝2，CD＝AB＝4，
∴设BE＝x，则AF＝x，AE＝x+2．
在Rt△ABE中，∵BE2+AB2＝AE2，
∴42+x2＝（x+2）2．
解这个方程得：x＝3，
∴BC＝5．
∴矩形ABCD的面积＝5×4＝20．
24．证明：如图，在?ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴?ABCD为矩形．