《1.3正方形的性质与判定》能力达标提升训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
能力达标提升训练（附答案）
一．选择题
1．下列关于四边形的说法，正确的是（　　）
A．四个角都是直角的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线相等的菱形是正方形
2．下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　）
A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
3．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列判断中不正确的是（　　）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形
C．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
4．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（　　）
A．15° B．20° C．12.5° D．10°
6．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且有AE＝EF＝FA．有下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④BE+DF＝EF；⑤S△ABE+S△ADF＝S△CEF．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　）
A．30° B．25° C．22.5° D．不能确定
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD边的中点，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，则CF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
二．填空题
10．如图，边长为10cm的正方形ABCD先向上平移6cm再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，则阴影部分面积为 　 　．
11．如图正方形ABCD的边长为1，点E在BC的延长线上．如果BE＝BD，那么CE＝　 　．
12．如图，直角三角形的一个角是30°，斜边长为4，用四个这样的直角三角形拼成如图所示的正方形ABCD，则正方形EFGH的边长是　 　．
13．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是　 　．
14．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠E＝　 　．
三．解答题
15．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OE＝OF．求证：AE＝BF．
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作MN∥BD交CD延长线于点N．
（1）求证：四边形MNDO是平行四边形；
（2）请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD满足什么关系时，四边形MNDO分别是菱形、矩形、正方形．
17．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且CE＝CF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
18．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．
19．如图在正方形ABCD中，点F在CD延长线上，点E在BC边上，且BE＝DF，连接EF交对线BD与点G，连接AE，AF，AG．
（1）求证：AE＝AF．
（2）求证：BG﹣DG＝DF．
（3）若DG＝4，DF＝，直接写出正方形ABCD的边长＝　 　．
20．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．
参考答案
一．选择题
1．解：四个角都是直角的四边形是矩形，但不一定是正方形，故选项A不符合题意；
对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如梯形的两条对角线可能互相垂直，故选项B不符合题意；
有两边相等的平行四边形不一定是菱形，如这组边是对边的时候就不一定是菱形，故选项C不符合题意；
两条对角线相等的菱形是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
2．解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
即∠ABC＝90°或AC＝BD．
故选：B．
3．解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故本选项正确．
B、如果AD⊥BC时，∠EDF不一定是直角，且ED不一定等于DF，所以不能判定平行四边形AEDF是正方形．故本选项错误；
C、平行四边形AEDF的一内角∠BAC＝90°，所以平行四边形AEDF是矩形．故本选项正确．
D、因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以平行四边形AEDF是菱形．故本选项正确．
故选：B．
4．解：∵正方形ABCD，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：A．
6．解：∵AB＝AD，AE＝AF＝EF，
∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF为等边三角形，
∴BE＝DF，又BC＝CD，
∴CE＝CF，
∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣60°）＝15°，
∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝75°，
∴①②③正确，
在AD上取一点G，连接FG，使AG＝GF，
则∠DAF＝∠GFA＝15°，
∴∠DGF＝2∠DAF＝30°，
设DF＝1，则AG＝GF＝2，DG＝，
∴AD＝CD＝2+，CF＝CE＝CD﹣DF＝1+，
∴EF＝CF＝+，而BE+DF＝2，
∴④错误，
⑤∵S△ABE+S△ADF＝2×AD×DF＝2+，
S△CEF＝CE×CF＝2+
∴⑤正确．
∴正确的结论有：①②③⑤．
故选：C．
7．解：在正方形ABCD中，∠ADB＝∠ADC＝×90°＝45°，
在菱形BDFE中，BD＝DF，
所以，∠DBF＝∠AFB，
在△BDF中，∠ADB＝∠DBF+∠AFB＝2∠AFB＝45°，
解得∠AFB＝22.5°．
故选：C．
8．解：过点E作EN⊥BC于N点，过F作FM⊥BC于M点，
∵正方形的边长为4，
∴AB＝CD＝AD＝BC＝4，
∵点E为AD边的中点，
∴AE＝ED＝2，
∴BE＝EC＝2，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BN＝CN＝2，
∴EN＝4，
∵点F为BE的中点，
∴FM＝EN＝2，
∵BF＝FE＝，
∴BM＝1，
∴CM＝3，
在Rt△CMF中，CF＝＝，
故选：D．
9．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
方法二：故选：C．
二．填空题
10．解：设设AD与A′B′相交于点E，CD与B′C′相交于点F，如图，
∵边长为10cm的正方形ABCD先向上平移6cm再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，
∴AB∥CD∥A′B′，BC∥AD∥B′C′，CF＝6，AE＝2，
∴四边形DEB′F为矩形，ED＝AD﹣AE＝8，DF＝CD﹣FC＝4，
∴S矩形DEB′F＝ED?DF＝8×4＝32cm2．
故答案为：32cm2．
11．解：在正方形ABCD中，BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，
∴BD＝BC＝，
∴BE＝BD＝，
∴CE＝BE﹣BC＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：∵直角三角形的一个角是30°，斜边AB长为4．
∴．
∴．
∵正方形ABCD是四个这样的直角三角形拼成的．
∴AB＝BG．
∴FG＝BG﹣FG＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
13．解：连接BD，如图所示：
∵E、F分别是AB，AD的中点，且EF＝2，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF＝2×2＝4，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AC＝BD＝4．
故答案为：4
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
故答案为：22.5°．
三．解答题
15．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，AC⊥BD，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SAS）
∴AE＝BF．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点M为AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM//CD，即OM//DN，
∵MN∥BD，
∴四边形MNDO是平行四边形；
（2）由（1）知四边形MNDO是平行四边形，若四边形MNDO是菱形，只需OM＝OD，
而OM＝CD＝AB，OD＝BD，
∴AB＝BD时，四边形MNDO是菱形；
若四边形MNDO是矩形，只需∠MOD＝90°，
而∠MOD＝∠ABD，
∴∠ABD＝90°时，四边形MNDO是矩形，即AB⊥BD；
若四边形MNDO是正方形，需OM＝OD，∠MOD＝90°，
∴AB＝BD，AB⊥BD时，四边形MNDO是正方形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°，
∵F是AD延长线上一点，
∴∠CDF＝180?﹣∠CDA＝90°，
在Rt△CBE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝DF；
（2）GE＝BE+GD成立，
理由：∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF，
又∵∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝∠DCF+∠DCE＝90°，
∵∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠GCE＝45°，
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE＝GF，
∵GF＝DF+DG，BE＝DF
∴GF＝BE+DG，
∴GE＝BE+GD成立．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）过E作EH⊥BC交BD于H，如图：
∵∠DBC＝45°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴HE＝BE＝DF，BH＝BE，
∵EH⊥BC，
∴EH∥CD，
∴∠GHE＝∠GDF，∠GEH＝∠GFD，
∴△GHE≌△GDF（ASA），
∴DG＝HG，
∴BG﹣DG＝BG﹣HG＝BH，
∴BG﹣DG＝BE＝DF；
（3）由（2）知：BG﹣DG＝DF，
而DG＝4，DF＝，
∴BG＝DG+DF＝6，
∴BD＝BG+DG＝10，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝CD＝＝＝5，
故答案为：5．
20．证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；
（2）∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴在Rt△ABC中，，
∴