《1.3正方形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
2．下面说法：①三角形的三条高交于同一点；②面积相等的两个正方形全等；③两条射线不相交就平行；④同位角相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．2
4．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
5．如图，在正方形ABCD内有一点P，若AP＝4，BP＝7，DP＝9，则∠APB的度数为　 　．
6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为　 　．
7．已知，如图，在Rt△ABC中，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．
8．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CFDE是正方形．
10．如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC．求证：四边形ABCD是正方形．
11．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：四边形CEDF是正方形．
12．如图，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC＝CF＝EF，∠AEB＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）证明：矩形ABCD为正方形．
13．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明）
14．如图：已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
15．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
16．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
17．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E．
求证：四边形OCED是正方形．
18．如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足　 　条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足　 　条件时，四边形DAEF是菱形；
②当△ABC满足　 　条件时，四边形DAEF是正方形；
④当△ABC满足　 　条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．
19．已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．
参考答案
1．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
方法二：故选：C．
2．解：①三角形的三条高所在直线交于一点，
故①说法不符合题意；
②因为正方形的面积是边长的平方，所以面积相等的两个正方形边长相等，且四个角又是直角，所以是全等图形，
故②说法符合题意；
③两条不在同一平面的直线不相交但不一定平行，
故③说法不符合题意；
④两直线平行，则同位角相等，
故④说法不符合题意，
所以正确的是①，1个，
故选：A．
3．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
4．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，BC⊥CD，
∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥CD，
∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，
∴HN是△BFP的中位线，
∴HN＝FP＝1，
∴MH＝5﹣1＝4，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴△BAP绕点A逆时针旋转90°可得△ADE，
连接PE，
由旋转的性质得，ED＝BP＝7，AE＝AP＝4，∠PBE＝90°，∠AED＝∠APB，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴PE＝AP＝4，∠AEP＝45°，
在△PED中，∵PD＝9，ED＝7，PE＝4，
∴DE2+PE2＝DP2，
∴△PED为直角三角形，∠PED＝90°，
∴∠AED＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝135°，
故答案为：135°．
6．解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝×6＝3，
∴EF的最小值为3；
故答案为：3．
7．证明：过E作EM⊥AB，
∵AE平分∠CAB，
∴EF＝EM，
∵EB平分∠CBA，
∴EM＝ED，
∴EF＝ED，
∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，
∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，
∴四边形EFDC是矩形，
∵EF＝ED，
∴四边形CDEF是正方形．
8．（1）证明：
∵点O为AB的中点，
∴OA＝OB
∵OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
9．证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE＝DN，DN＝DF，
∴DF＝DE，
∴矩形CFDE是正方形．
10．证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
即∠ABP+∠PBC＝90°，
∵AP⊥BP，
∴∠ABP+∠PAB＝90°，
∴∠PBC＝∠PAB，
∵CE⊥BP，
∴∠APB＝∠BEC＝90°，
在△ABP与△BCE中，
，
∴△ABP≌△BCE，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD为正方形．
11．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵DE＝DF，
∴矩形DECF是正方形．
12．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠DAG＝∠AEB＝15°，
∵CF＝EF，
∴∠FCE＝∠AEB＝15°，
∴∠AFC＝∠FCE+∠AEB＝30°，
∵AC＝CF，
∴∠FAC＝∠AFC＝30°，
∴∠ACF＝18O°﹣∠FAC﹣∠AFC＝120°；
（2）由（1）知∠DAG＝15°，∠FAC＝30°，
∴∠DAC＝∠DAG+∠FAC＝45°，
∵∠D＝90°，
∴∠ACD＝∠DAC＝45°，
∴AD＝CD，
∴矩形ABCD为正方形．
13．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠ECD．
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
在△AEF与△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）四边形AFBD为矩形；
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴四边形AFBD为矩形；
（3）AB＝AC，且∠BAC＝90°；
证明：∵AB＝AC，且∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝DB，
∴四边形AFBD为正方形．
14．解：（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），
∴∠EAF＝∠EDF（平行四边形的对角相等）；
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠EDA（平行四边形的对角线平分对角），
∴AE＝DE（等角对等边），
∴四边形AEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；
（2）由（1）知，四边形AEDF是菱形，
∵当四边形AEDF是正方形时，∠EAF＝90°，即∠BAC＝90°，
∴△ABC的∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
15．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∴△BED≌△CFD．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°．
∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF．
∴四边形DFAE为正方形．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
17．证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
∴OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴四边形CODE是正方形．
18．（1）证明：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
BD＝BA，BF＝BC，∠DBA＝∠FBC＝60°，
∴∠DBA﹣∠FBA＝∠FBC﹣∠FBA，
∴∠DBF＝∠ABC．
在△ABC和△DBF中，，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE，
同理△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：①当∠A＝150°时，四边形DAEF是矩形，
理由是：∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是矩形，
故答案为∠A＝150°；
②当△ABC满足AB＝AC≠BC时，四边形DAEF是菱形，
理由是：由（1）知：EF＝BA＝AD，DF＝AC＝AE，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形，
故答案为：AB＝AC≠BC．
③当△ABC满足∠BAC＝150°，且AB＝AC≠BC时，四边形DAEF是正方形，理由如下：
由①得：当∠BAC＝150°时，四边形DAEF是矩形；
当AB＝AC时，由（1）得：EF＝AB＝AD，DF＝AC＝AE，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形，
∴四边形DAEF是正方形．
故答案为：∠BAC＝150°，AB＝AC；
④当∠BAC＝60°时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；理由如下：
∵∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴点D、A、E共线，
∴以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；
故答案为：∠BAC＝60°；
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE．
（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；理由如下：
由折叠的性质得：∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，
∵∠BAD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD＝BE＝DE，
∵BF＝BE，
∴AE＝BE＝AF＝BF，
∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴四边形AFBE是正方形．