《2.5一元二次方程的根与系数的关系》同步能力提升训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步能力提升训练（附答案）
一．选择题
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥ B．k≥且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
2．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（　　）
A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
3．已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则＝（　　）
A． B．2 C．3 D．9
4．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
5．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣2＝0实数根的情况最确切的是（　　）
A．有实数根 B．无实根
C．有两个相等实根 D．有两个不相等的实根
6．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
二．填空题
7．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2（a+1）x+a+5＝0有实根，则实数a的取值范围是　 　．
8．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β+1的值为　 　．
9．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，那么代数式2m2+4n2﹣4n+2019的值为　 　．
10．设方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝3，则m＝　 　．
11．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　 　时，△ABC是等腰三角形；当k＝　 　时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
12．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　 　．
13．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+4α+β＝　 　．
14．已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝　 　．
15．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　．
三．解答题
16．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．
17．若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根．求下列各式的值：
（1）； （2）x12x2+x1x22； （3）（x1+1）（x2+1）．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
19．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．
20．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
22．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
参考答案
一．选择题
1．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k≥且k≠1，
故选：B．
2．解：根据条件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴＝﹣1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得，
解得m＝3．
故选：A．
3．解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，
∴x≠0．
将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2得6（）2+2021+3＝0．
∵xy≠1，即y≠，
∴，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解，
∴＝＝．
故选：A．
4．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
5．解：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣m﹣2）
＝4m2﹣4m+1+4m+8
＝4m2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实根，
故选：D．
6．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
二．填空题
7．解：根据题意得a﹣1≠0且△＝4（a+1）2﹣4（a﹣1）（a+5）≥0，
解得a≤3且a≠1．
故答案为a≤3且a≠1．
8．解：根据题意得：α+β＝1，
α3﹣2021α﹣β
＝α（α2﹣2020）﹣（α+β）
＝α（α2﹣2020）﹣1，
∵α2﹣α﹣2019＝0，
∴α2﹣2020＝α﹣1，
把α2﹣2020＝α﹣1代入原式得：
原式＝α（α﹣1）﹣1
＝α2﹣α﹣1
＝2019﹣1
＝2018，
∴α3﹣2021α﹣β+1＝2018+1＝2019，
故答案为：2019．
9．解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，
∴m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴2m2+4n2﹣4n+2019
＝2（m2+n2）+2（n2﹣2n）+2019
＝2[（m+n）2﹣2mn]+2×1+2019
＝2×（22﹣2×（﹣1）]+2+2019
＝2033，
故答案为：2033．
10．解：∵方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝m，x1x2＝﹣1，
∵|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
m2+4＝9，
解得：m＝，
∵当m＝±时，判别式△≥0，
∴m＝都符合，
故答案为：．
11．解：（1）因为△＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
若AB＝BC＝5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的实数根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4．
∵无论k取何值，△＞0，
∴AB≠AC，故k只能取3或4；
（2）根据根与系数的关系：AB+AC＝2k+3，AB?AC＝k2+3k+2，
则AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB?AC＝25，
即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，
解得k＝2或k＝﹣5．
根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积k2+3k+2＞0，解得k＞﹣1，
∴k＝2．
故答案为：3或4；2．
12．解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．
当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；
当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；
当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，
[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，
∴x1＝，x2＝．
∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，
∴0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2．
综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．
故答案为：m＝1或m＞2．
13．解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，
∴α2+3α＝7，
∴α2+4α+β＝α2+3α+α+β＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
14．解：∵m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，m2+2m＝2021，
∴m2+mn+3m+n＝m2+2m+mn+（m+n）＝2021﹣2021﹣2＝﹣2．
故答案是：﹣2．
15．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3
三．解答题
16．解：（1）∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞﹣2且k≠﹣1，
∴实数k的取值范围为k＞﹣2且k≠﹣1．
（2）∵k＞﹣2且k≠﹣1，
∴满足条件的k的最小整数值为0，此时原方程为x2﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣．
17．解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0的两实数根，
∴x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣5，
（1）原式＝＝＝；
（2）原式＝x1x2（x1+x2）＝（﹣5）×（﹣3）＝15；
（3）原式＝（x1+x2）+x1x2+1＝﹣3﹣5+1＝﹣7．
18．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
19．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围为：k≤1．
（2）由根与系数关系得：x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
所以（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．
解得k＝2（舍去）或k＝﹣4．
故k的值是﹣4．
20．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴?ABCD的周长是2×（2+）＝5．
21．（1）证明：
∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，
∴△＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：
∵△ABC为等腰三角形，
∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，
①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，
∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，
当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，
∴三角形的三边长为4、6、6，
当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，
∴三角形的三边长为6、6、10，
②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
22．解：（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，
∴（2m+1）2﹣4m（m﹣2）≥0
解得m≥﹣且m≠2
（2）由题意得有两种情况：
①当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，x1＝x2＝﹣×＝．
②当x1＝﹣x2时，则x1+x2＝0．，所以m＝﹣，
因为m≥﹣且m≠2，所以此时方程无解．
综上所述，m＝﹣，x1＝x2＝．