《2.6应用一元二次方程》同步能力提升训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.6应用一元二次方程》
同步能力提升训练（附答案）
1．某商场四月份的营业额为36万元，六月份的营业额为48万元，设四月份到六月份的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．48（1+x）2＝36 B．48（1﹣x）2＝36
C．36（1+x）2＝48 D．36（1﹣x）2＝48
2．为庆祝建党100周年华诞，某校组织摄影比赛．小明上交的作品如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（　　）
A．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5 B．3（7+x）（5+x）＝7×5
C．3（7+2x）（5+2x）＝7×5 D．（7+x）（5+x）＝3×7×5
3．现有一块长方形绿地，它的短边长为20m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣20）＝300 B．x（x+20）＝300
C．60（x+20）＝300 D．60（x﹣20）＝300
4．某件商品原价为1000元，连续两次都降价x%后该件商品售价为640元，则下列所列方程正确的是（　　）
A．1000（1﹣x%）2＝640 B．1000（1﹣x%）2＝360
C．1000（1﹣2x%）＝640 D．1000（1﹣2x%）＝360
5．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　）
A． B． C． D．
6．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）
A．（x+1）（x+2）＝18 B．x2﹣3x+16＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝18 D．x2+3x+16＝0
7．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：　 　．
8．某种家电价格受市场购买力影响，连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元，则平均每次降价的百分率为 　 　．
9．“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量奉献了自己的一生．某村杂交水稻2019年的平均亩产300千克，2021年平均亩产363千克，则此水稻亩产量的平均增长率为 　 　．
10．商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
11．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行　 　场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
12．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
13．据调查，我市某企业2018年生产的某品牌产品100万个，到2020年该品牌产品的年产量达到169万个．
（1）求该品牌产品的年平均增长率；
（2）若该品牌产品的年平均增长率保持不变，请你预测该品牌产品2021年的年产量．
14．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
16．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．
（1）当t＝4时，求△APQ的面积．
（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．
17．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
18．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
19．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
20．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
参考答案
1．解：依题意得六月份的营业额为36（1+x）2，故36（1+x）2＝48．
故选：C．
2．解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝3×7×5，
故选：A．
3．解：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得
x（x﹣20）＝300．
故选：A．
4．解：∵第一次降价后的价格为1000×（1﹣x%），
第二次降价后的价格为1000×（1﹣x%）×（1﹣x%）＝1000×（1﹣x%）2，
∴方程为1000（1﹣x%）2＝640．
故选：A．
5．解：依题意得（a+b）2＝b（b+a+b），
而a＝1，
∴b2﹣b﹣1＝0，
∴b＝，而b不能为负，
∴b＝．
故选：B．
6．解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）＝18，
故选：C．
7．解：设小道进出口的宽度为xm，
根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2x?x＝532，
整理，得：x2﹣35x+34＝0．
故答案为：x2﹣35x+34＝0．
8．解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：5000（1﹣x）2＝3200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
9．解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：300×（1+x）2＝363，
解得：x＝10%或x＝﹣210%（舍去）．
答：水稻亩产量的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
10．解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1050元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，
整理得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，40﹣x＝35＞25，符合题意；
当x＝25时，40﹣x＝15＜25，不合题意，舍去．
答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元．
11．解：（1）×4×3＝6（场）．
故答案为：6．
（2）设有x支球队参加比赛，
依题意，得：x（x﹣1）＝36，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．
12．解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有
（6﹣x）?2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
经检验，x1，x2均符合题意．
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有
△ABC的面积＝×6×8＝24，
（6﹣y）?2y＝12，
y2﹣6y+12＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4），
设经过m秒，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1，
m2﹣10m+23＝0，
解得m1＝5+，m2＝5﹣，
经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，
∴m＝5﹣；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x≤6），
设经过n秒，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1，
n2﹣10n+25＝0，
解得n1＝n2＝5，
经检验，n＝5符合题意．
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），
设经过k秒，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1，
k2﹣10k+23＝0，
解得k1＝5+，k2＝5﹣，
经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，
∴k＝5+；
综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．
13．解：（1）设该品牌产品的年平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：该品牌产品的年平均增长率为30%．
（2）169×（1+30%）＝219.7（万个）．
答：该品牌产品2021年的年产量为219.7万个．
14．解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
15．解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）＝64
x＝7或x＝﹣9（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）64×7＝448（人）．
答：第三轮将又有448人被传染．
16．解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1m/s，
当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，
∴AP＝4cm，AQ＝4cm，
∴S△APQ＝×4×4＝8（cm2）．
（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
根据题意得：S△ABC＝××12×8＝24cm2，
当0＜t＜6 时如图1：
S△APQ＝（12﹣2t）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12（舍去）或t＝2．
当6＜t＜8 时如图2：
S△APQ＝（2t﹣12）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+72＝0，
△＜0，无解．
当t＞8时如图3：
S△APQ＝（2t﹣12）（t﹣8）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12或t＝2（舍去）．
综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
17．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
18．（1）解：设每千克核桃应降价x元．
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240．
化简，得 x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．
答：每千克核桃应降价4元或6元．
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），
设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，
解得m＝9
答：该店应按原售价的九折出售．
19．解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1．x2＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
20．解：（1）设AB＝x，则BC＝38﹣2x；
根据题意列方程的，
x（38﹣2x）＝180，
解得x1＝10，x2＝9；
当x＝10，38﹣2x＝18（米），
当x＝9，38﹣2x＝20（米），而墙长19m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为18米，10米；
（2）根据题意列方程得，
x（38﹣2x）＝200，
整理得出：x2﹣19x+100＝0；
Δ＝b2﹣4ac＝361﹣400＝﹣39＜0，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能达到200m2