《第1章勾股定理》单元综合培优提升训练2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元综合培优提升训练（附答案）
1．如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）
A．12 B．13
C．144 D．194
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 D．∠C＝∠A﹣∠B
3．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
5．下面三组数中是勾股数的一组是（　　）
A．6，7，8 B．1.5，2，2.5 C．21，28，35 D．9，16，25
6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）
A．dm B．20dm C．25dm D．35dm
7．在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝11，b＝12，c＝13
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a：b：c＝1：1：2
8．下列三角形中，是直角三角形的是（　　）
A．三角形的三边a，b，c满足关系a+b＞c B．三角形的三边长分别为32，42，52 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边长为20，15，25
9．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝1：2：3
C．∠A＝∠B＝2∠C D．a＝1，b＝2，c＝
10．下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（　　）
①a2＝c2﹣b2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③a：b：c＝1：：2；
④∠C＝∠A﹣∠B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝　 　．
12．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为　 　．
13．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　 　尺．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　 　．
15．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．
16．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　 　cm（杯壁厚度不计）．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？
18．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC、BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，现需要修建一条公路，使工厂C到公路的距离最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建的路的长．
19．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2＝AP2+BC2．
20．我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种方式证明．下图是1876年美国总统Garfield证明勾股定理所用的图形：
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上．
你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程．
参考答案
1．解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方＝169，一直角边的平方＝25，
根据勾股定理知，另一直角边平方＝169﹣25＝144，即字母B所代表的正方形的面积是144．
故选：C．
2．解：A、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形．
D、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形；
故选：C．
3．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
故选：D．
4．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
5．解：A、∵72+62≠82，∴这一组数不是勾股数，故本选项错误；
B、∵1.5，2.5不是整数，∴这一组数不是勾股数，故本选项错误；
C、∵212+282＝352，∴这一组数是勾股数，故本选项正确；
D、∵92+162≠252，∴这一组数不是勾股数，故本选项错误；
故选：C．
6．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25（dm）．
故选：C．
7．解：A．∵a＝32＝9，b＝42＝16，c＝52＝25，
∴a2+b2≠c2，
∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a＝11，b＝12，c＝13，
∴a2+b2≠c2，
∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a＝5，b＝12，c＝13，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵a：b：c＝1：1：2，
∴a+b＝c，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，
∴以a、b、c为边也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．解：A、三角形的三边满足关系a+b＞c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项不符合题意；
D、∵152+202＝252，∴此三角形是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
9．解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
B、∵12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形；
C、∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，
∴△ABC不是直角三角形；
D、∵12+（）2＝22，
∴△ABC是直角三角形．
故选：D．
10．解：①a2＝c2﹣b2，即a2+b2＝c2，是直角三角形；
②由∠A：∠B：∠C＝1：1：2可得∠C＝180°×＝90°，是直角三角形；
③∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝22，∴是直角三角形；
④∠C＝∠A﹣∠B可变为∠A＝∠C+∠B，根据∠A+∠B+∠C＝180°可得∠A+∠A＝180°，解得∠A＝90°，因此是直角三角形；
故选：D．
11．解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，
∴9x2+16x2＝152，
解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9．
故答案为：9．
12．解：∵52+122＝132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为×5×12＝30．
13．解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为＝25（尺）．
故答案为：25．
14．解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
15．解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
16．解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．
故答案为20．
17．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴由勾股定理得：AB＝＝10
又∵CD⊥AB
∴S△ABC＝AC×BC＝AB×CD
∴×8×6＝×10×CD
∴CD＝4.8
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AD＝＝＝6.4
答：线段AD的长度是6.4．
18．解：过A作CD⊥AB，垂足为D，
∵6002+8002＝10002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S△ACB＝AB?CD＝AC?BC，
×600×800＝×1000×CD，
解得：CD＝480，
∴新建的路的长为480m．
19．证明：连接BM，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，则AB2﹣AC2＝BC2．
又∵在直角△AMP中，AP2＝AM2﹣MP2，
∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（AM2﹣MP2）．
又∵AM＝CM，
∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（MC2﹣MP2），①
∵△APM是直角三角形，∴AM2＝AP2+MP2，则AM2﹣MP2＝AP2，②
∵△BPM与△BCM都是直角三角形，
∴BM2＝BP2+MP2＝MC2+BC2，
MC2+BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2，③
把②③代入①，得
AB2﹣AC2+AP2＝BP2，即BP2＝AP2+BC2．
20．解：∵Rt△ACB≌Rt△BDE，
∴∠CAB＝∠DBE．
∵∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∴∠ABE＝180°﹣90o＝90o．
∴△ABE是一个等腰直角三角形，S△ABE＝c2．
又∵S梯形ACDE＝（a+b）2，
S梯形ACDE＝S△ABC+S△BDE+S△ABE＝ab+c2．
∴（a+b）2＝ab+c2，
即a2+b2＝c2．
由此验证勾股定理