《2.4用因式分解法求解一元二次方程》同步能力提升训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
同步能力提升训练（附答案）
一．选择题
1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2+9＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+6x+9＝0 D．x2+5x﹣1＝0
2．若关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≤﹣1
3．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
4．方程（x+1）（x﹣3）＝5的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣4，x2＝2
5．已知关于x的方程ax2+2x＝3有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣ B．a＞﹣1且a≠0 C．a＞﹣1 D．a＞﹣且a≠0
6．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥ B．k≥且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
二．填空题
8．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个不相等实数根，则a的值为 　 　．
9．判断一元二次方程x2﹣4mx+4m2＝0的根的情况是 　 　．
10．以比方程x2﹣5x﹣2＝0的两根均大3的数为根的方程是　 　．
11．方程x2﹣3|x|﹣2＝0的最小一根的倒数是　 　．
12．若关于x的方程x2+6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为 　 　．
三．解答题
13．解一元二次方程
（1）x2﹣x﹣4＝0；
（2）（2x+3）（x﹣6）＝16．
14．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣10x+25＝9；
（2）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0；
（3）3x2﹣4x﹣1＝0．
15．解方程．
（1）x2﹣4x+1＝0；（配方法）
（2）2x2+x﹣1＝0．（公式法）
16．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2x＝m（m为常数）．
（Ⅰ）当m＝5时，求这个方程的解；
（Ⅱ）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
20．已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵△＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×9＝﹣36＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
B、∵△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
C、∵△＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×9＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，
故本选项不符合题意；
D、∵△＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：当k＝0时，方程化为2x＝0，解得x＝0；
当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣4k?≥0，解得k≥﹣1，
所以实数k的取值范围是k≥﹣1．
故选：A．
3．解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
∴m＝0或m＝4，
∴m＝4，
故选：B．
4．解：（x+1）（x﹣3）＝5，
x2﹣2x﹣3﹣5＝0，
x2﹣2x﹣8＝0，
化为（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
故选：B．
5．解：由关于x的方程ax2+2x＝3，即ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
解得a＞﹣．
则a＞﹣且a≠0．
故选：D．
6．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，
则x＝＝＝3±2，
故选：D．
7．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k≥且k≠1，
故选：B．
二．填空题8．解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a×2＞0，
解得a＜且a≠0，
故答案为a＜且a≠0．
9．解：∵△＝（﹣4m）2﹣4×4m2＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故答案为方程有两个相等的实数根．
10．解：设方程x2﹣5x﹣2＝0的两根分别为t1，t2，
则t1+3，t2+3为根的方程是（x﹣3）2﹣5（x﹣3）﹣2＝0，
整理得：x2﹣11x+22＝0．
故答案为：x2﹣11x+22＝0．
11．解：方程整理得：|x|2﹣3|x|﹣2＝0，
这里a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∵b2﹣4ac＝9+8＝17＞0，
∴|x|＝（负值舍去），
解得：x1＝，x2＝﹣，即最小一根为﹣，
则方程最小一根的倒数是﹣＝﹣＝﹣＝．
故答案为：．
12．解：根据题意得Δ＝62﹣4a＝0，
解得a＝9．
故答案是：9．
三．解答题
13．解：（1）整理，得：x2﹣4x﹣16＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣16，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣16）＝80＞0，
则x＝＝＝2±2，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；
（2）整理为一般式，得：2x2﹣9x﹣34＝0，
∵a＝2，b＝﹣9，c＝﹣34，
∴Δ＝（﹣9）2﹣4×2×（﹣34）＝353＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
14．解：（1）x2﹣10x+25＝9，
（x﹣5）2＝9，
∴x﹣5＝±3，
∴x1＝8，x2＝2；
（2）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0，
[2（3x﹣1）+3（3x+1）][2（3x﹣1）﹣3（3x+1）]＝0，
∴15x+1＝0或﹣3x﹣5＝0，
则x1＝﹣，x2＝﹣；
（3）3x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝16+12＝28＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
15．解：（1）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
解得，x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）2x2+x﹣1＝0．
∵a＝2，b＝1，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝﹣1，x2＝．
16．（1）证明：x2﹣mx+2m﹣4＝0，
Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2，
∵不论m为何值，（m﹣4）2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）把x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，得1﹣m+2m﹣4＝0．
解得m＝3．
17．解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0，
可得a﹣3+6+8＝0，
∴a＝﹣11；
（2）∵（a﹣3）x2﹣6x+8＝0是一元二次方程，
∴a≠3，
∵方程有实数根，
∴Δ＝36﹣32（a﹣3）≥0，
∴a≤，
∴a≤且a≠3，
∵a是正整数，
∴a＝4，2，1．
18．解：（Ⅰ）当m＝5时，方程为x2+2x＝5，
x2+2x+1﹣1＝5，
（x+1）2＝6，
解得，x1＝，x2＝﹣；
（Ⅱ）∵b2﹣4ac＝4+4m，
∴4+4m＝0时，方程有两个相等的实数根，
解得：m＝﹣1，
即m＝﹣1时，方程有两个相等的实数根．
∴4m+4＜0
解得：m＜﹣1，
即m＜﹣1时，方程没有实数根．
19．（1）证明：
∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，
∴△＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵△ABC为等腰三角形，
∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，
①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，
∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，
当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，
∴三角形的三边长为4、6、6，
当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，
∴三角形的三边长为6、6、10，
②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
20．解：（1）在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，
∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，
∵a2+4≥4，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个根分别为α和β，
由根与系数的关系得：，
解得：a＜0．