《第2章一元二次方程》综合同步能力达标测评（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册（含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）
1．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3＝0是一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不是
2．若方程（x﹣4）2＝a有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0
3．用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程为（　　）
A．（x﹣）2＝ B．（x+）2＝ C．（x﹣9）2＝62 D．（x+9）2＝62
4．已知x＝﹣2是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝0，则x2+y2的值为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3
6．已知有1人患了某新型肺炎，经过两轮传染后共有256人患病，设每轮传染中平均一人传染x人，则可以列方程（　　）
A．1+2x＝256 B．1+x2＝256 C．（1+x）2＝256 D．1+x＝256
7．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）
A．﹣1和0 B．﹣3和2 C．﹣3和0 D．﹣1和2
8．若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣1或x＝2 D．x＝﹣2或x＝0
9．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
10．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
11．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．1 D．﹣3 或 0
12．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A．10cm B．12 cm C．16cm D．12cm或16cm
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
13．方程2（x+2）＝x（x+2）的解为　 　．
14．如果一元二次方程x（x﹣6）＝3（x﹣6）的两个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
15．已知实数x满足（x2+3x）2+4（x2+3x）+3＝0，则x2+3x的值为　 　．
16．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　 　．
17．若关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0有一个根为0，则a的值为　 　．
18．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　 　．
19．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝　 　．
20．如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为　 　．
21．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　．
22．设方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝3，则m＝　 　．
三．解答题（共7小题，23题9分，24、25每小题6分，26、27、28每小题8分,29题9分，共计54分）
23．解方程：
（1）2x2﹣6x+3＝0
（2）（x+3）（x﹣1）＝5
（3）4（2x+1）2＝9（2x﹣1）2．
24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
26．某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．
设销售单价定为x元．据此规律，请回答：
（1）商店日销售量减少　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
27．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于8cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？
28．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+4a+3，
解：原式＝a2+4a+4﹣1
＝（a+2）2﹣1
＝（a+2+1）（a+2﹣1）
＝（a+3）（a+1）
②M＝a2﹣2a+6，利用配方法求M的最小值，
解：M＝a2﹣2a+6＝a2﹣2a+1+5＝（a﹣1）2+5．
∵（a﹣b）2≥0，
∴当a＝1时，M有最小值5．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2﹣8x+　 　．
（2）用配方法因式分解：x2﹣4xy﹣12y2．
（3）若M＝﹣4x2+2x﹣1，求M的最大值．
29．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）
1．解：由题意得：m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3，
故选：C．
2．解：∵方程（x﹣4）2＝a有实数解，
∴x﹣4＝±，
∴a≥0；
故选：B．
3．解：∵x2﹣9x+19＝0，
∴x2﹣9x＝﹣19，
∴x2﹣9x+＝﹣19+，即（x﹣）2＝，
故选：A．
4．解：把x＝﹣2是方程x2+bx﹣2＝0得4﹣2b﹣2＝0，
解得b＝1．
故选：A．
5．解：设x2+y2＝z，则原方程可化为（z+1）（z﹣3）＝0，
解得z1＝﹣1，z2＝3，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2的值为3．
故选：C．
6．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
而已知经过两轮传染后共有256人患了流感，则可得方程，
1+x+x（1+x）＝256，即（1+x）2＝256．
故选：C．
7．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，
∴a（x+m﹣1）2+b＝0，
又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴x﹣1＝﹣2或x﹣1＝1，
解得x3＝﹣1，x4＝2，
故选：D．
8．解：∵a+b+c＝0且4a﹣2b+c＝0，
∴在方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c中，当x＝2时，a+2b＝b﹣c，即a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，4a﹣b＝b﹣c，即4a﹣2b+c＝0，
∴方程的解为x＝﹣1或x＝2，
故选：C．
9．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
10．解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2020+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：C．
11．解：∵关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，
∴x1?x2＝a＝1．
故选：C．
12．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
即AB＝3或4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，
当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，
即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，
故选：C．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
13．解：原方程可化为：x（x+2）﹣2（x+2）＝0；
（x+2）（x﹣2）＝0；
x+2＝0或x﹣2＝0；
解得：x1＝2，x2＝﹣2．
故答案是：x1＝2，x2＝﹣2．
14．解：解方程x（x﹣6）＝3（x﹣6）得：x1＝3，x2＝6．
当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为6，此时三角形的周长为：6+6+3＝15；
当长度为6的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时3+3＝6，不能构成三角形．
综上所述，这个等腰三角形的周长为15．
故答案是：15．
15．解：设y＝x2+3x，则y2+4y+3＝0，即（y+1）（y+3）＝0．
解得y＝﹣1或y＝﹣3．
当综上所述，x2+3x的值为﹣1或﹣3，
∵x2+3x+﹣＝（x﹣）2﹣≥﹣，
∴x2+3x＝﹣1，
故答案是：﹣1．
16．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＞0且m≠1，
解得m＜5且m≠1，
故答案为：m＜5且m≠1．
17．解：把x＝0代入关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0，得
a2﹣16＝0，
解得：a＝4或﹣4，
∵a+4≠0，a≠﹣4，
∴a＝4．
故答案为：4．
18．解：根据题意得2×3＝c，
1+5＝﹣b，
解得b＝﹣6，c＝6，
所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．
故答案为x2﹣6x+6＝0．
19．解：∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴α2+2020α﹣2＝0，
β2+2020β﹣2＝0
∴α2+2020α＝2，
β2+2020β＝2
∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）
＝（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为4．
20．解：∵方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根，
∴b2﹣4ac＝k2﹣4（k2﹣3k+）＝﹣2k2+12k﹣18＝﹣2（k﹣3）2≥0，
∴k＝3，
代入方程得：x2+3x+＝（x+）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣，
∴＝﹣，
故答案为：﹣．
21．解：设矩形的长和宽分别为a、b，
∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，
∴a+b＝﹣，ab＝＝4，
即矩形的面积是4，
故答案为：4．
22．解：∵方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝m，x1x2＝﹣1，
∵|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
m2+4＝9，
解得：m＝，
∵当m＝±时，判别式△≥0，
∴m＝都符合，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，23题9分，24、25每小题6分，26、27、28每小题8分,29题9分，共计54分）
23．解：（1）这里a＝2，b＝﹣6，c＝3，
∵△＝36﹣24＝12，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：x2+2x﹣8＝0，即（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣4；
（3）开方得：2（2x+1）＝3（2x﹣1）或2（2x+1）＝﹣3（2x﹣1），
解得：x1＝2.5，x2＝0.1．
24．解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
25．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，
解得k≤．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，
∵x12+x22＝11，
∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，
∵k≤，
∴k＝4（舍去），
∴k＝﹣1．
26．解：
（1）∵销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，
∴商店日销售量减少20（x﹣10）件，
∵每件商品的成本为8元．
∴每件商品盈利为（x﹣8）元，
故答案为：20（x﹣10）（x﹣8）；
（2）由题意可得：
（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，
解得：x1＝12 x2＝16（舍）．
答：该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为12元．
27．解：根据题意知BP＝AB﹣AP＝12﹣t，BQ＝2t．
（1）根据三角形的面积公式，得
PB?BQ＝35，
t（12﹣t）＝35，
t2﹣12t+35＝0，
解得t1＝5，t2＝7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
（2）设t秒后，PQ的长度等于8cm，根据勾股定理，得
PQ2＝BP2+BQ2＝（12﹣t）2+（2t）2＝128，
5t2﹣24t+16＝0，
解得t1＝，t2＝4．
故当t为或4时，PQ的长度等于8cm．
（3）当0＜t≤8时，
PB?BQ＝32，即×2t×（12﹣t）＝32，
则t2﹣12t+32＝0，
解得t1＝4，t2＝8．
当8＜t≤12时，
则CQ＝2t﹣16，BQ＝BC﹣CQ＝16﹣（2t﹣16）＝32﹣2t，PB＝12﹣t，
则△PBQ的面积＝PB?BQ＝×（12﹣t）×（32﹣2t）＝32，
解得：t＝20或8（均舍去）；
当12＜t≤16时，
PB?BQ＝32，
（16﹣t）（t﹣12）＝32，
t2﹣28t+224＝0，
△＝282﹣4×1×224＝﹣112＜0，
故方程无实数根．
综上所述，当t为4或8时，△PBQ的面积等于32cm2．
28．解：（1）x2﹣8x+16＝（x﹣4）2．
故答案是：16；
（2）x2﹣4xy﹣12y
＝x2﹣4xy+4y?﹣16y2
＝（x﹣2y）?﹣16y?
＝（x﹣2y+4y）（x﹣2y﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣6y）；
（3）∵M＝﹣4x2+2x﹣1，
，
∴当时，M有最大值为．
29．解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．
（2）设每杯售价定为a元，由题意得：
（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，
解得：a1＝21，a2＝20．
∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．