1.1菱形的性质与判定 同步培优提升训练 2021—2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》同步培优提升训练（附答案）
1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，点O是对角线BD的中点，OE⊥CD于点E，则OE的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．2
4．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
5．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF．若∠BAD＝80°，则∠CDF的度数为（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　）
A． B．3 C． D．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．18 C．6 D．24
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于　 　．
10．如图，已知AB＝6，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE．点P、C、E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N别是对角线AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为　 　．
11．如图，已知点E在菱形ABCD的边AB上，以BE为边向菱形ABCD外部作菱形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝5，BE＝2，∠ABC＝120°，则MN＝　 　．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为　 　．
13．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是　 　cm．
14．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2?，则AB的长为　 　．
15．如图，在?ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．
16．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
（1）求证：OE＝AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．
19．在?ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求ED的长．
参考答案
1．解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
2．解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴＝8，即ab＝16，
S△AEF＝＝ab＝3．
故选：B．
3．解：连接OA，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，点O是对角线BD的中点，
∴AD＝AB＝8，AO⊥BD，
∴∠ADB＝∠CDB＝（180°﹣120°）＝30°，
在Rt△AOD中，OD＝4，
∵OE⊥CD，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△DOE中，OE＝OD＝×4＝2，
故选：A．
4．解：∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故选：A．
5．解：连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝80°，
∴∠DAC＝40°，∠ADC＝100°，AC⊥BD，DO＝BO，
∴BF＝DF，
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠ADF＝40°，
∴∠CDF＝60°，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵S菱形ABCD＝24，
∴8×BD＝24，
解得：BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝BD＝6＝3，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝2，
∴BD＝4，
∵OA＝3，
∴AC＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝．
故选：A．
8．解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t＝，
故选：D．
9．解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OB×OC＝BC×OP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
10．解：连接PM、PN，如图所示：
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2x，则PB＝6﹣2x，PM＝x，PN＝（3﹣x），
∴MN＝＝，
∴x＝时，点M，N之间的距离最短，最短距离为，
故答案为：．
11．解：如图，连接CF，过点F作FH⊥BG，交CG的延长线于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，
∴AB＝BC＝5，BE＝BG＝GF＝2，AB∥FG，
∴∠ABC＝∠FGB＝120°，
∴∠FGH＝60°，
∴∠GFH＝30°，
∴HG＝FG＝1，FH＝HG＝，
∴CF＝＝＝，
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝FC＝，
故答案为：．
12．解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC＝8，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝6，
∴BD＝12，
∵S菱形ABCD＝AB?DE＝AC?BD，
∴DE＝＝9.6，
故答案为9.6．
13．解：连接BP，
（cm2），
∴AB＝BC＝＝3（cm），
∴（cm2），
∴，
∴（cm），
故答案为：2．
14．解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，
∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，
∴AD∥BC，
∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH，
∵点G为HD的中点，
∴HG＝DG，
∵∠MGD＝∠CGH，
∴△MGD≌△CGH（ASA），
∴MG＝CG，MD＝CH＝BC＝AD，
∴点G为MC的中点，点M为AD的中点，
∵F，G分别为CE和CM的中点，
∴FG是△CEM的中位线，
∴FG＝EM，
∴EM＝2FG＝4，
∵E，M分别为AB和AD的中点，
∴AE＝AM，
∵∠A＝120°，
∴EM＝AE＝4，
∴AE＝4，
∴AB＝2AE＝8．故答案为：8．
15．证明：（1）如图，连接AC，与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝FD，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即 OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF；
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
16．证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示：
∵OC＝OE，
∴CF＝EF，
∵OF⊥CE，CE⊥CD，
∴OF∥CD，
∵AB∥DC，
∴OF∥AB，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC；
（2）∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
17．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根据勾股定理得，FG＝，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF＝＝＝4．
18．解：（1）∵AC平分∠BAD，AB∥CD．
∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC．
∴∠DAC＝∠DCA．
∴AD＝DC．
又∵AB∥CD，AB＝AD．
∴AB∥CD且AB＝CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝AD．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24．
∴CD＝13，AO＝CO＝12．
∵点E、F分别是边CD、BC的中点．
∴EF∥BD（中位线）．
∵AC、BD是菱形的对角线．
∴AC⊥BD，OB＝OD．
又∵AB∥CD，EF∥BD．
∴DE∥BG，BD∥EG．
∴四边形BDEG是平行四边形．
∴BD＝EG．
在△COD中．
∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12．
∴．
∴EG＝BD＝10．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥BE，
∴∠FAO＝∠BEO，
∵O为AE的中点，
∴OA＝OE，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（ASA），
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE，
∵∠FAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：过O作OH⊥BC于H，如图所示：
∵E为BC的中点，且BC＝8，
∴BE＝CE＝4，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠OBH＝30°，∠BOE＝90°，
∴OE＝BE＝2，∠EOH＝∠OBH＝90°﹣∠OEH＝30°，
∴EH＝OE＝1，
∴OH＝＝＝，CH＝EH+CE＝5，
∴OC＝＝＝2．
20．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵BA＝BC，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴CE＝AD＝BC＝5，
∴BE＝BC+CE＝10，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
DE＝＝6