《第1章勾股定理》同步培优提升综合训练1（附答案）2021-2022学年八年级数学北师大版上册

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》培优提升综合训练1（附答案）
1．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
2．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（　　）
A．169 B．169或119 C．169或225 D．225
3．下列说法中正确的是（　　）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2
4．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64
5．以下长度的线段可以构成直角三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，5cm B．2cm，3cm，4cm
C．4cm，3cm，5cm D．1cm，0.5cm，2cm
6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：6
7．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（　　）
A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝9，b＝12，c＝15
C．a＝7，b＝24，c＝25 D．a＝3，b＝5，c＝7
9．如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（　　）
A．5米 B．8米 C．9米 D．25
10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　）
A．2.7米 B．2.5米 C．2米 D．1.8米
11．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　 　米．
12．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝　 　．
13．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元钱．
14．如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，该图形的面积等于　 　．
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于　 　．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上，连接AB，BC，则∠ABC＝　 　．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　 　．
18．我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
19．长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
20．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
22．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
参考答案
1．解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．
故选：D．
2．解：当12是斜边时，第三边平方是119；
当12是直角边时，第三边是＝169．
故选：B．
3．解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．
A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；
B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；
C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；
D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误；
故选：C．
4．解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
5．解：C、42+32=52，能构成直角三角形，故不符合题意；故选：C．
6．解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
7．解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
8．解：由题意可知，在A组中，152+82＝172＝289，
在B组中，92+122＝152＝225，
在C组中，72+242＝252＝625，
而在D组中，32+52≠72，
故选：D．
9．解：设大树高约有x米，由勾股定理得：
（x﹣3）2＝32+42，
解得：x＝8，
答：大树高约5米．
故选：B．
10．解：由题意可得：AD2＝0.72+2.42＝6.25，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，BC2+AB2＝AC2，
∴AB2+1.52＝6.25，
∴AB＝±2，
∵AB＞0，
∴AB＝2米，
∴小巷的宽度为0.7+2＝2.7（米）．
故选：A．
11．解：如图，设大树高为AB＝12m，
小树高为CD＝6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝6m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6（m），
在Rt△AEC中，
AC＝10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
12．解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；
在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，
若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，
故BF＝x﹣4＝6．
故答案为：6．
13．解：由勾股定理，AC＝12（m）．
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×18＝612元．
故答案为：612．
14．解：连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，
∴AC＝10，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝102+242＝262＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
∴图形面积为：
S△ABC﹣S△ACD＝×10×24﹣×6×8＝96．
故答案为：96．
15．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，
所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．
故答案为：2π．
16．解：连接AC，
由勾股定理得：∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
17．解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝?AF?BC＝10．
故答案为：10．
18．解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，
所以∠DBC＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABD+S△DBC＝3×4÷2+5×12÷2＝36m2；
所需费用为36×200＝7200（元），
答：总共需投入7200元．
19．解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，
△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．
∴x＝（cm）．
20．解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
故152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解之得：x＝9．
∴AD＝12．
∴S△ABC＝BC?AD＝×14×12＝84．
21．解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
∴根据勾股定理得AB＝500米，
∵AB?CD＝BC?AC，
∴CD＝240米．
∵240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
22．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．