2020-2021学 年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》章末综合能力提升训练（Word版 含答案）

2021年度北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》章末综合能力提升训练1（附答案）
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1
C．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2 D．a3+2a2﹣3a＝a（a+3）（a﹣1）
2．多项式x2﹣1与x2﹣2x+1的公因式是（　　）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
3．计算210+（﹣2）11的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．210 D．﹣210
4．把多项式（a+b）（a+4b）﹣9ab分解因式正确的是（　　）
A．（a﹣2b）2 B．（a+2b）2 C．a（a﹣3b）2 D．ab（a+3）（a﹣3）
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．2x2y﹣4xy2+2xy＝2xy（x﹣2y） B．x（x﹣y）﹣（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣1）
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2 D．4x2﹣16＝4（x+2）（x﹣2）
6．下列各式中，正确分解因式的个数为（　　）
①x3+2xy+x＝x（x2+2y）②x2+2xy+4y2＝（x+2y）2
③﹣2x2+8y2＝﹣（2x+4y）（x﹣2y）④a3﹣abc+a2b﹣a2c＝a（a﹣c）（a+b）
⑤（m﹣n）（2x﹣5y﹣7z）+（m﹣n）（3y﹣10x+3z）＝﹣（m﹣n） （8x+2y+4z）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2+x＝x（x﹣1） B．x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）
C．x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）2 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
8．（﹣8）2022+（﹣8）2021能被下列数整除的是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
9．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为　 　．
10．分解因式4x2y3+8x3y2﹣12x4y的公因式是　 　．
11．分解因式：8ab3c+2ab＝　 　．
12．已知x2+mx+8＝（x+n）2，则m＝　 　，n＝　 　．
13．因式分解：2a3﹣12a2+18a＝　 　．
14．分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝　 　．
15．若x2+5x+a＝（x﹣3）（x+b），则a+b＝　 　．
16．在实数范围内分解因式：m2﹣2＝　 　．
17．【例题讲解】因式分解：x3﹣1．
∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．
∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝　 　；
（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；
（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．
18．已知a＝2，a+b＝3，求a2+ab的值．
19．某同学碰到这么一道题“分解因式：a4+4”，不会做，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上4a2，再减去4a2，这样原式化为（a4+4a2+4）﹣4a2，……”，老师话没讲完，此同学就恍然大悟，他马上就做好了此题．你会吗？请完成此题．
20．分解因式：①8a3﹣2a； ②x3﹣4x2y+4xy2
21．请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）
22．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）．请你分析一下a、b的值，并写出正确的因式分解过程．
23．（1）解方程：3x2﹣12＝0
（2）在实数范围内分解因式：3a2﹣15
24．计算
（1）已知a﹣b＝，b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．
（2）．
参考答案
1．解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，从左到右是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、a3+2a2﹣3a＝a（a2+2a﹣3）＝a（a+3）（a﹣1），等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
2．解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴多项式x2﹣1与x2﹣2x+1的公因式是x﹣1，
故选：B．
3．解：210+（﹣2）11＝210﹣211＝210﹣210×2＝210×（1﹣2）＝﹣210，
故选：D．
4．解：原式＝a2+5ab+4b2﹣9ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．
故选：A．
5．解：A、原式＝2xy（x﹣2y+1），不符合题意；
B、原式＝x（x﹣y）+（x﹣y）＝（x﹣y）（x+1），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝4（x2﹣4）＝4（x+2）（x﹣2），符合题意．
故选：D．
6．解：①左边为三项，右边乘开为两项，故错误；
②右边（x+2y）2＝x2+4xy+4y2≠左边，故错误；
③公因数2未提出来，故错误；
④a3﹣abc+a2b﹣a2c＝（a3+a2b）﹣（abc+a2c）＝a2（a+b）﹣ac（a+b）＝a（a﹣c）（a+b）
④正确；
⑤等式右边的（8x+2y+4z）未提取公因数2，故错误．
综上，只有④正确．故选：A．
7．解：A、x（x﹣1）＝x2﹣x≠x2+x，故A错误；
B、（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4，s所给等式成立且符合因式分解的要求，故B正确；
C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，所给等式右边不等于左边，故C错误；
D、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2≠x2+y2，故D错误．
故选：B．
8．解：（﹣8）2022+（﹣8）2021＝（﹣8）2021×（﹣8+1）＝﹣7×（﹣8）2021，
则（﹣8）2022+（﹣8）2021能被7整除．故选：C．
9．解：把x＝2代入方程x2﹣3x+k＝0中得4﹣6+k＝0，
解得：k＝2．
故答案为：2．
10．解：分解因式4x2y3+8x3y2﹣12x4y的公因式是4x2y．
故答案为：4x2y．
11．解：原式＝2ab（4b2c+1）．
故答案为：2ab（4b2c+1）．
12．解：已知等式整理得：x2+mx+8＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，
可得，
解得：或，
故答案为：，．
13．解：2a3﹣12a2+18a＝2a（a2﹣6a+9）＝2a（a﹣3）2．
故答案为：2a（a﹣3）2．
14．解：原式＝（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．
故答案为：（b+c+a）（b+c﹣a）
15．解：（x﹣3）（x+b）＝x2+（b﹣3）x﹣3b，
∵x2+5x+a＝（x﹣3）（x+b），
∴x2+5x+a＝x2+（b﹣3）x﹣3b，
∴a＝﹣3b，b﹣3＝5，
解得a＝﹣24，b＝8，
所以a+b＝﹣24+8＝﹣16．
故答案为：﹣16．
16．解：m2﹣2
＝m2﹣（）2
＝（m+）（m﹣）．
故答案为：（m+）（m﹣）
17．解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1，
故答案为：1；
（2）设另一个因式为（x2+ax+k），
（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，
∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，
∴a+1＝3，a+k＝﹣3，
解得a＝2，k＝﹣5；
答：k的值为﹣5；
（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：
设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），
①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，
∴a＝0，b+1＝1，b＝1，
由b+1＝1得b＝0≠1，
②（x2+x+1）（x2+ax+1）
＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，
∴a+1＝0，a+2＝1，
解得a＝﹣1．
即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），
∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．
答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．
18．解：∵a＝2，a+b＝3，
∴a2+ab＝a（a+b）＝2×3＝6．
19．解：a4+4＝（a4+4a2+4）﹣4a2＝（a2+2）2﹣（2a）2
＝（a2+2+2a）（a2+2﹣2a）＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）．
20．解：（1）原式＝＝；
（2）①8a3﹣2a＝2a（4a2﹣1）＝2a（2a+1）（2a﹣1）；
②x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣4xy+4y2）＝x（x﹣2y）2．
21．解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4
＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）
＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；
方法二：x3﹣4x2+6x﹣4＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4＝x（x﹣2）2+2x﹣4＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．
22．解：∵甲看错了b，所以a正确，
∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，
∴a＝6，
∵因为乙看错了a，所以b正确
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，
∴b＝9，
∴x2+6x+9＝（x+3）2．
23．解：（1）∵3x2﹣12＝0，
∴x2＝4，
∴x＝±2；
（2）3a2﹣15＝3（a2﹣5）＝
24．解：（1）∵a﹣b＝①，b﹣c＝②，由①+②得 a﹣c＝
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝++＝
∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ac）＝
∵a2+b2+c2＝1，
∴ab+bc+ca＝＝
答：ab+bc+ca的值为．
（2）原式＝
＝
＝
＝＝＝．
答：原式＝