第2章一元二次方程 单元综合能力达标训练 2021—2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合能力达标训练（附答案）
1．下列方程中为一元二次方程的是（　　）
A．x2＝1 B．x3﹣6x＝0 C．x2+3y+4＝0 D．
2．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+y＝1 D．
3．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2
4．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　）
A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2﹣1＝0 D．3x2+6x+1＝0
5．关于x的一元二次方程x2＝1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x＝﹣1 D．x1＝x2＝1
6．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（　　）
A．（x+3）2＝9 B．（x+3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝4
7．若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣8x+15＝0的一根，则这个三角形的周长为（　　）
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
8．一元二次方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
9．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
10．若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＜1且k≠0 D．k≥1
11．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法判断
12．若x＝1是方程x2﹣a＝0的一个根，则a的值为　 　，方程的另一个根为　 　．
13．如果（m+n﹣1）（m+n﹣2）＝2，那么m+n的值为 　 　．
14．已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根．
15．（1）先化简，再求值：÷+，其中x＝+1．
（2）解方程：x2﹣3x﹣1＝0．
16．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
①小明同学说：无论k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？
②若等腰三角形的一边a＝1，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长和面积．
17．求证：不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0一定有两个不相等的实数根．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的两个根都是整数，求k的值并求出方程的两个整数根．
19．已知实数a、b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，求t的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
21．阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变． 即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2
（2）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．
22．某工厂设计一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元∕件） … 30 40 50 60 …
每天销售量y（件） … 500 400 300 200 …
（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？
23．如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正中央建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．
24．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 　 　 40
销售量（件） 200 　 　 　 　
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
25．（教材变式题）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．
参考答案
1．解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、是一元三次方程，故此选项不符合题意；
C、是二元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．解：A、2x+1＝0是一元一次方程，不符合题意；
B、x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，符合题意；
C、x2+y＝1是二元二次方程，不符合题意；
D、＝1是分式方程，不符合题意．
故选：B．
3．解：把一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0得：
﹣3x2+4x﹣2＝0，
∵a＞0，
∴3x2﹣4x+2＝0，
∴一次项和常数项分别是：﹣4x，2，
故选：B．
4．解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+6x+1＝0，
故选：D．
5．解：∵x2＝1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故选：B．
6．解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，
则x2+6x+9＝﹣4+9，
即：（x+3）2＝5，
故选：C．
7．解：由方程x2﹣8x+15＝0可得（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x＝3或x＝5，
当x＝3时，2、3、6构不成三角形，舍去；
当x＝5时，三角形的周长为2+5+6＝13；
故选：C．
8．解：原方程移项得：
x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，（提取公因式x），
∴x1＝0，x2＝2，
故选：D．
9．解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
10．解：由题意知，△＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故选：B．
11．解：△＝b2﹣4ac，
∵ac＜0，
∴﹣ac＞0，
而b2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
12．解：把x＝1代入方程x2﹣a＝0得：1﹣a＝0，
解得：a＝1，
方程为x2﹣1＝0，
x2＝1，
x1＝1，x2＝﹣1，
即方程的另一个根是﹣1，
故答案为：1，﹣1．
13．解：设m+n＝a，则原方程化为（a﹣1）（a﹣2）＝2，
整理，得a2﹣3a＝0，
即a（a﹣3）＝0，
a＝0或a﹣3＝0，
解得：a＝0或3，
即m+n＝0或3，
故答案为：0或3．
14．解：将x＝3代入x2﹣2x+a＝0中得32﹣6+a＝0，
解得a＝﹣3，
将a＝﹣3代入x2﹣2x+a＝0中得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
所以a＝﹣3，方程的另一根为﹣1．
15．解：（1）原式＝，
＝，
＝，
＝，
＝，
当时，
原式＝＝＝＝；
（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
16．解：①∵△＝（k+2）2﹣4×1×2k＝k2+4k+4﹣8k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
∴方程无论k取何值，总有实数根，
∴小明同学的说法合理；
②当b＝c时，则△＝0，
即（k﹣2）2＝0，
∴k＝2，
方程可化为x2﹣4x+4＝0，
∴x1＝x2＝2，
而b＝c＝2，
∴C△ABC＝5，S△ABC＝；
当b＝a＝1，
∵x2﹣（k+2）x+2k＝0．
∴（x﹣2）（x﹣k）＝0，
∴x＝2或x＝k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴k＝1，
∴c＝2，
∵a+b＝c，
∴不满足三角形三边的关系，舍去；
综上所述，△ABC的周长为5．
17．证明：∵△＝（k+6）2﹣4×1×4（k﹣3）＝（k﹣2）2+80，
而（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2+80＞0，
即△＞0，
所以不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0一定有两个不相等的实数根．
18．解：（1）根据题意得：△＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，
解得：k＜；
（2）由k为正整数，得到k＝1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k为完全平方数，
则k的值为2，
将k＝2代入x＝﹣1±，
得x1＝0，x2＝﹣2．
19．解：由已知得，（a+b）2﹣ab＝1，t＝﹣（a+b）2+3ab，
由此可得：ab＝，a+b＝（t≥﹣3），
∴a，b是关于方程x2x+＝0的两个实根，
由△＝﹣2（t+1）≥0，解得t≤﹣，
故t的取值范围是﹣3≤t≤﹣．
故答案为：﹣3≤t≤﹣．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，
解得k≤．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，
∵x12+x22＝11，
∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，
∵k≤，
∴k＝4（舍去），
∴k＝﹣1．
21．解：（1）x2+4xy﹣5y2
＝（x2+4xy+4y2）﹣4y2﹣5y2
＝（x+2y）2﹣（3y）2
＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）
＝（x+5y）（x﹣y）；
（2）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13＝0
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣4c+4）＝0，
（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣3）2＝0，（c﹣2）2＝0，
a＝b＝3，c＝2，
∴a+b+c＝8．
22．解：（1）设y＝kx+b，
根据题意可得，
解得：，
则y＝﹣10x+800；
（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，
整理，得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60，
∵销售单价最高不能超过45元/件，
∴x＝40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元．
23．解：设道路的宽为x米，
则可列方程：
x（24﹣4x）+x（40﹣4x）+16x2＝×40×24，
即：x2+8x﹣20＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10（舍去）．
答：道路的宽为2米．
24．解：（1）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 80﹣x 40
销售量（件） 200 200+10x 800﹣200﹣（200+10x）
（2）根据题意，得
200×（80﹣50）+（200+10x）×（80﹣x﹣50）+（400﹣10x）（40﹣50）＝9000
整理得10x2﹣200x+1000＝0，
即x2﹣20x+100＝0，
解得x1＝x2＝10
当x＝10时，80﹣x＝70＞50
答：第二个月的单价应是70元．
25．解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；
所以（80+2x）（50+2x）＝5400，
即4x2+160x+4000+100x＝5400，
所以4x2+260x﹣1400＝0．
即x2+65x﹣350＝0．