2.5一元二次方程根与系数的关系 同步练习 2021——2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

12433300120650002.5一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题（共11小题）
1．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
2．已知关于x的方程x2+nx+1+2n＝0的一个解为﹣1，则它的另一个解是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
3．方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0中有一根是1，另一根为n，则m与n的值分别是（　　）
A．m＝2，n＝3 B．m＝2，n＝2 C．m＝2，n＝﹣3 D．m＝2，n＝﹣2
5．关于x的一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．10
6．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝4，则m的值为（　　）
A． B． C． D．3
8．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
9．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
10．若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6
二．填空题（共5小题）
12．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　 　．
13．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　．
14．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝　 　．
15．如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝　 　．
16．设方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝3，则m＝　 　．
三．解答题（共4小题）
17．x1、x2是方程2x2﹣3x﹣5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）x12+x22；
（2）|x1﹣x2|；
（3）+．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2．
（1）已知x1﹣x2＝0，求a的值；
（2）化简：﹣|2﹣a|．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．
20．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
2.5一元二次方程的根与系数的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
2．已知关于x的方程x2+nx+1+2n＝0的一个解为﹣1，则它的另一个解是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得：（﹣1）2+（﹣1）n+1+2n＝0，
∴n＝﹣2，
∴原方程的另一个解为﹣n﹣（﹣1）＝2+1＝3．
故选：B．
3．方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【解答】解：∵方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3．
故选：C．
4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0中有一根是1，另一根为n，则m与n的值分别是（　　）
A．m＝2，n＝3 B．m＝2，n＝2 C．m＝2，n＝﹣3 D．m＝2，n＝﹣2
【解答】解：将x＝1代入原方程，得：12﹣3×1+m＝0，
∴m＝2．
又∵1+n＝﹣（﹣3），
∴n＝2．
故选：B．
5．关于x的一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．10
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣4，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣4）＝12．
故选：C．
6．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，
∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，
∴﹣2﹣k﹣1＜﹣1，
∴k＞﹣2，
∵△＝4﹣4（k+1）≥0，
∴k≤0，
∴﹣2＜k≤0，
故选：C．
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝4，则m的值为（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的解，
∴x1+x2＝3．
∵x1+3x2＝4，即3+2x2＝4，
∴x2＝．
将x2＝代入原方程，得：﹣+m＝0，
∴m＝．
故选：A．
8．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2﹣2x﹣20＝0．
故选：C．
9．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣9，
∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9，
∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．
故选：C．
10．若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，
∴k＝﹣3，b＝1，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
11．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6
【解答】解：∵x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，
∴x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝22﹣2×（﹣1）
＝4+2
＝6，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
12．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　3　．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
13．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　4　．
【解答】解：设矩形的长和宽分别为a、b，
∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，
∴a+b＝﹣，ab＝＝4，
即矩形的面积是4，
故答案为：4．
14．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝　﹣3　．
【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴△＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1?x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝　　．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∴AO2+BO2＝AB2＝52＝25，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，
∴2AO+2BO＝2（m+1），2AO?2BO＝8m，
∴AO+BO＝m+1，AO?BO＝2m，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝25，
∴（m+1）2﹣4m＝25，
解得：m1＝6，m2＝﹣4，
∴当m＝﹣4时，AO?BO＝﹣8＜0，不符合题意，舍去，
即m＝6，
则AO?BO＝12，AC?BD＝2AO?2BO＝4AO?BO＝48，
∵DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD＝AB?DH＝AC?BD，
∴5DH＝，
∴DH＝．
故答案为：．
16．设方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝3，则m＝　±　．
【解答】解：∵方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝m，x1x2＝﹣1，
∵|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
m2+4＝9，
解得：m＝，
∵当m＝±时，判别式△≥0，
∴m＝都符合，
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
17．x1、x2是方程2x2﹣3x﹣5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）x12+x22；
（2）|x1﹣x2|；
（3）+．
【解答】解：依题意，得x1+x2＝，x1?x2＝﹣．
（1）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（）2﹣2×（﹣）＝；
（2）|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2＝（）2﹣4×（﹣）＝，则|x1﹣x2|＝；
（3）+＝＝＝﹣．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2．
（1）已知x1﹣x2＝0，求a的值；
（2）化简：﹣|2﹣a|．
【解答】解：Δ＝（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣4≥0，
解得a≤﹣1，
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2，
∴x1+x2＝2a﹣1，x1x2＝a2+1，
∵x1﹣x2＝0，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝0，
即（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣4＝0，
解得a＝﹣1；
（2）﹣|2﹣a|＝1﹣a﹣（2﹣a）＝﹣1．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．
【解答】解：（1）∵△＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∵，
∴x1+x2＝6，
∵x1+x2＝4m，
∴4m＝6，
∴，
∴，
∴x1＝6，x2＝0．
20．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
【解答】解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3