2021-2022学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理 单元专题提升训练 (word解析版)

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步专题提升训练（附答案）
1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）
A．47 B．13 C．11 D．8
2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2
C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2
3．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　）
A．8 B．9 C．27 D．45
5．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．5，6，7 B．1，4，8 C．5，12，13 D．5，11，12
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
7．已知直角三角形的周长为12，其斜边为5，则三角形的面积为（　　）
A．12cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
8．下列各组数据不是勾股数的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10
9．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
10．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）cm．
A．14 B．15 C．16 D．17
11．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
12．有一块土地的形状如图所示，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，则这块土地的面积为　 　．
13．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　 　．
14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了　 　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
15．如图，一木杆在离地面1.5m处折断，木杆顶端落在离木杆底端2m处，则木杆折断之前的高为　 　（m）．
16．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
17．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为　 　．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝　 　．
19．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，求AE的长．
21．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？
参考答案
1．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝3+5＝8；
y2＝2+3＝5；
z2＝x2+y2＝13．
故最大正方形E的面积是z2＝13．
故选：B．
2．解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x﹣1）2+52＝x2，
故选：B．
3．解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故选：C．
4．解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴根据图形得：2+4＝x﹣3，
解得：x＝9，
故选：B．
5．解：A、因为52+62≠72，所以不能组成直角三角形；
B、因为12+42≠82，所以不能组成直角三角形；
C、因为52+122＝132，所以能组成直角三角形；
D、因为52+112≠122，所以不能组成直角三角形．
故选：C．
6．解：∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴ab＝24．
故选：A．
7．解：直角三角形的周长为12，其斜边为5，则两个直角边的和是7，
设直角边是a，b，则a+b＝7，
这个式子的两边同时平方得到：a2+b2+2ab＝49，
根据勾股定理得：a2+b2＝25，则ab＝12，
而直角三角形的面积是ab，则面积是6cm2．
故选：B．
8．解：A、12+32≠42 ，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
故选：A．
9．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝1.5（米）
故选：B．
10．解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则
AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝15cm，
故选：B．
11．解：过点A作AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝18＝9，
∴AD＝12（cm），
∴它底边上的高为12cm；
故选：B．
12．解：连接AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，
在Rt△ABC中，AC为斜边，
则AC＝25（m），
在Rt△ACD中，AC为斜边
则AD═24（m），
四边形ABCD面积S＝AB×BC+AD×CD＝×20×25+×7×24＝234（m2）．
答：此块地的面积为234平方米．
故答案为：234m2．
13．解：如图，连接BD，
∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，BD＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB?AD+BC?BD
＝×3×4+×12×5
＝36．
故答案为：36．
14．解：由勾股定理，得
路长＝5，
少走（3+4﹣5）×2＝4步，
故答案为：4．
15．解：∵一木杆在离地面1.5m处折断，木杆顶端落在离木杆底端2m处，
∴折断的部分长为＝2.5，
∴折断前高度为2.5+1.5＝4（m）．
故答案为：4．
16．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故答案为：17．
17．解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
18．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝AC?BC＝30cm2，
∴AC＝5cm，
根据勾股定理得：AB＝13cm．
故答案为：13cm．
19．解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵DE⊥BC，DE＝3，BD＝4，
∴BE＝5＝CE，
∴AC2＝EC2﹣AE2＝25﹣EA2，
∵D是BC的中点，BD＝4，
∴BC＝2BD＝8，
在Rt△BAC中：BC2﹣BA2＝64﹣（5+EA）2＝AC2，
∴64﹣（5+AE）2＝25﹣EA2，解得AE＝．
20．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB＝20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BE＝AB＝10．
21．解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，
∴OB＝16×1.5＝24海里，AB＝30海里，
∴在Rt△AOB中，AO＝18，
∴乙轮船每小时航行18÷1.5＝12海里．