2021—2022学年北师大版数学九年级上册2.1 认识一元二次方程同步提优训练(共2课时，word解析版)

2.1　第1课时　一元二次方程的相关概念
命题点 1　对一元二次方程定义的理解
1.[2018·南通海安县期中] 下列方程中是关于x的一元二次方程的是 (　　)
A.x2+1x=0 B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x-2)=0 D.3x2+2=x2+2(x-1)2
2.已知关于x的方程(m+1)xm2+1+(m-2)x-1=0.
(1)当m取何值时,它是一元二次方程?
(2)当m取何值时,它是一元一次方程?
命题点 2　确定一元二次方程的一般形式及各项系数
3.[2018·武汉洪山区期中] 将一元二次方程x(x-9)=-3化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为1,一次项系数和常数项分别是 (　　)
A.9,3 B.9,-3
C.-9,-3 D.-9,3
4.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3(m2+15)x+m2-4=0的常数项是0,则m的值为 (　　)
A.2 B.±2 C.-2 D.-10
5.[2018·九江濂溪区月考] 若关于x的一元二次方程a(x2+1)+b(x+2)+c=0化为一般形式后为6x2+10x-1=0,求以a,b为对角线长的菱形的面积.
6.观察下列一元二次方程:①x2+2x-3=0;②x2-7x+6=0;③3x2-2x-1=0;④5x2+3x-8=0.
(1)上面几个方程的系数有一个共同特征,请你用等式表示这个特征;
(2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程.
命题点 3　从实际问题中找等量关系,列出一元二次方程
7.[2019·龙东地区改编] 某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,设每个支干长出的小分支为x个,则根据题意下面所列方程正确的是 (　　)
A.1-x+x2=43 B.1-x-x2=43
C.1+x+x2=43 D.x2-x-1=43
8.新能源汽车节能、环保,越来越受消费者喜爱,各种品牌相继投放市场,我国新能源汽车近几年销量全球第一,2016年销量为50.7万辆,销量逐年增加,到2018年销量为125.6万辆,设年平均增长率为x,可列方程为　　　　　　　　.?
9.已知x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程,求a与b的值.
2.1 第2课时　估算一元二次方程的近似解
命题点 1　一元二次方程的解
1.[2018·盐城] 已知关于x的一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的值为 (　　)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
2.若m是方程x2-2020x-1=0的一个根,则(m2-2020m+3)(m2-2020m+4)的值为 (　　)
A.16 B.12 C.20 D.30
3.我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1,x2=-3,现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的解是 (　　)
A.x1=1,x2=3 B.x1=1,x2=-3
C.x1=-1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3
4.[2018·丽水期中] 已知m是方程x2=0的一个实数根,求代数式(m2-m)m-2m+1的值.
5.根据下列条件,分别编写一个关于x的一元二次方程:
(1)方程有一个根是-1,常数项是3;
(2)方程有一个根是0,二次项系数是6.
命题点 2　用估算法求一元二次方程的近似解
6.根据下列表格中所给出的x与ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的对应值(精确到0.001),判断方程ax2+bx+c=0的一个根x所在的范围是(　　)
x
35.154
35.155
35.156
35.157
35.158
ax2+bx+c
-0.052
-0.029
-0.006
-0.017
0.040
A.35.154C.35.1567.一块矩形铁片,面积为1 m2,长比宽多3 m,求铁片的长.小明在做这道题时,是这样做的:设铁片的长为x m,列出的方程为x(x-3)=1,整理,得x2-3x-1=0.小明列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是他的探索过程:
第一步:
x
1
2
3
4
x2-3x-1
3
-3
所以　　　　第二步:
x
1
.2
.3
3.4
x2-3x-1
-0.69
0.36
所以　　　　(1)请你帮小明填写他未完成的部分;
(2)通过以上探索,估计出矩形铁片长的整数部分为　　　　,十分位为　　　　.?
8.[2018·杭州期中] 如图1,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,Rt△ABC和Rt△BED的三边长均分别为a,b,c,易知AE=2c,这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根,且△ABC的面积为1,求四边形ACDE的周长.

图1
典题讲评与答案详析
1.C　[解析] A.是分式方程,故A错误;B.当a=0时不是一元二次方程,故B错误;C.是一元二次方程,故C正确;D.是一元一次方程,故D错误.故选C.
2.[解析] (1)在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)中,要注意二次项系数a≠0这一条件.当a=0时,上面的方程就不是一元二次方程了.(2)一元一次方程的条件是m+1=0且m-2≠0或m2+1=1且m+1+(m-2)≠0,故应分两种情况讨论.
解:(1)根据题意,得m2+1=2,m+1≠0.解得m=1.
故当m=1时,它是一元二次方程.
(2)当m-2≠0,m+1=0时,解得m=-1;
当m+1+(m-2)≠0,m2+1=1时,解得m=0.
故当m=-1或m=0时,它是一元一次方程.
3.D　[解析] x(x-9)=-3,x2-9x+3=0,所以一次项系数、常数项分别为-9,3.故选D.
4.C　[解析] 由题意,得m-2≠0,m2-4=0.解得m=-2.故选C.
5.解:ax2+a+bx+2b+c=0.
ax2+bx+a+2b+c=0.
∵6x2+10x-1=0,
∴a=6,b=10.
∴S菱形=12×6×10=30.
6.解:(1)记方程的二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c.
在①中,a=1,b=2,c=-3,则a+b+c=0;
在②中,a=1,b=-7,c=6,则a+b+c=0;
在③中,a=3,b=-2,c=-1,则a+b+c=0;
在④中,a=5,b=3,c=-8,则a+b+c=0.
∴各方程的系数的共同特征为a+b+c=0.
(2)由(1)可知a+b+c=0,
∴所写方程可以为x2-x=0(答案不唯一).
7.C　
8.50.7(1+x)2=125.6　
9.解:∵x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程,∴分以下五种情况:
①2a+b=2,a+b=1,解得a=1,b=0;
②2a+b=2,a+b=0,解得a=2,b=?2;
③2a+b=1,a+b=2,解得a=?1,b=3;
④2a+b=0,a+b=2,解得a=?2,b=4;
⑤2a+b=2,a+b=2,解得a=0,b=2.
综上所述,a=1,b=0或a=2,b=?2或a=?1,b=3或a=?2,b=4或a=0,b=2.
典题讲评与答案详析
1.B
2.C　[解析] 因为m是方程x2-2020x-1=0的一个根,所以m2-2020m=1.
所以(m2-2020m+3)(m2-2020m+4)=(1+3)×(1+4)=20.故选C.
3.D　[解析] 把方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0看作关于2x+3的一元二次方程,所以2x+3=1或2x+3=-3,所以x1=-1,x2=-3.故选D.
4.解:∵m是方程x2=0的一个实数根,
∴m2=0.
∴m2-m=2,m2-2=m.
∴(m2-m)m-2m+1=2×m2-2m+1=2×mm+1=2×(1+1)=2×2=4.
5.解:本题答案不唯一,设一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0.
(1)把x=-1代入方程,得a-b+c=0
.∵c=3,∴a-b=-3.∴满足条件的一元二次方程可以是x2+4x+3=0.
把x=0代入方程,得c=0.∵a=6,∴满足条件的一元二次方程可以是6x2-x=0.
6.D
7.(1)-1　3　3　4　-0.01　0.36　3.3　3.4
(2)3　3
8.解:∵x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根,
∴a-2c+b=0.
∴a+b=2c.
∵△ABC的面积为1,
∴ab2=1.∴ab=2.
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ab=c2+4.
又(a+b)2=(2c)2=2c2,
∴c2+4=2c2.
解得c1=2,c2=-2(舍去).
∴四边形ACDE的周长是a+b+a+b+2c=22c+2c=32c=32×2=62.