2021——2022学年北师大版九年级数学上册2.6　应用一元二次方程练习题（word版含答案）

2.6　应用一元二次方程
第1课时　
【基础练习】
知识点 1　用一元二次方程解决几何图形问题
1.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池,且游泳池的宽比长短10 m.设游泳池的长为x m,则可列方程为 (　　)
A.x(x-10)=375 B.x(x+10)=375
C.2x(2x-10)=375 D.2x(2x+10)=375
2.如图1,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m2.

图1






3.如图2,某农场有一块长40 m、宽32 m的矩形种植地,为方便管理,准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路.要使种植面积为1140 m2,求小路的宽.

　图2





知识点 2　用一元二次方程解决动态几何图形问题
4.如图3,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图3所示),点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动,若使△PBQ的面积为15 cm2,则点P运动的时间是 (　　)

图3
A.2 s B.3 s C.4 s D.5 s
5.如图4,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,BC=6 cm,动点P,Q分别从点A,C出发,点P以3 cm/s的速度沿AB边向点B移动,同时点Q以2 cm/s的速度沿CD边向点D移动.当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止移动.经过多长时间,P,Q两点之间的距离是10 cm?

　图4



【能力提升】
6.如图5,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建一横两纵共三条等宽的道路,剩余的空地种植草坪,使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是 (　　)

图5
A.(32-2x)(20-x)=570 B.32x+2×20x=32×20-570
C.(32-x)(20-x)=32×20-570 D.32x+2×20x-2x2=570
7.如图6,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动;同时,点Q从点B出发沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.经过x s后△PDQ的面积等于28 cm2,则x的值为 (　　)

图6
A.1或4 B.1或6 C.2或4 D.2或6
8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图7所示的直角墙角DA和DC(两边足够长),再用28 m长的篱笆围成一个面积为192 m2的矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),在点P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,现要将这棵树也围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求AB的长.

图7













9.有一块长30 cm,宽12 cm的矩形铁皮.
(1)如图8①,在铁皮的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作成一个底面积为144 cm2的无盖方盒,如果设切去的正方形的边长为x cm,则可列方程为?
　　　　　　　　.?
(2)由于实际需要,计划制作一个有盖的长方体盒子,为了合理使用材料,某学生设计了如图8②的裁剪方案,空白部分为裁剪下来的边角料,其中左侧两个空白部分为正方形,能否折出底面积为104 cm2的有盖盒子(盒盖与盒底的大小、形状完全相同)?如果能,请求出盒子的体积;如果不能,请说明理由.

图8




第2课时　
【基础练习】
知识点 1　利用一元二次方程解决销售问题
1.某种服装,平均每天销售20件,每件赢利32元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件每降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要赢利900元,那么每件应降价多少元?
解:设每件应降价x元,则每件赢利　　　　元,每天可多售出　　　　件,每天一共售出　　　　件,所以每天可获得利润　　　　　　　　元.?
(以上均用含x的代数式表示)
根据题意列方程,得　.?
解得　　　　　　　　　　.?
符合题意的解为　　　　.?
答:每件应降价　　　　元.?
2.某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售,那么每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润,如果这种商品每件的售价每涨1元,那么每天的销售量就会减少20件,若要想每天获得640元的利润,则每件的售价定为　　　　最合适 (　　)?
A.12元 B.16元 C.12元或16元 D.14元
3.某商场经销某种商品,每件成本为40元,经市场调研,当售价每件为50元时,每天可销售200件.每件的售价每降低1元,每天销售量将增加10件.如果降价后该商场销售这种商品每天可赢利1250元,那么每件商品的售价应定为多少元?




知识点 2　利用一元二次方程解决变化率问题
4.[2020·河南] 国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为 (　　)
A.5000(1+2x)=7500 B.5000×2(1+2x)=7500
C.5000(1+x)2=7500 D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500
5.某种药品原价为每盒60元,由于医疗政策改革,价格经过两次下调后现在售价为每盒48.6元,则平均每次下调的百分率为　　　　.?
6.某村2018年的人均年收入为20000元,2020年的人均年收入为24200元.
(1)求2018年到2020年该村人均年收入的年平均增长率;
(2)假设2021年该村人均年收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2021年该村的人均年收入是多少元.






【能力提升】
7.某种花卉每盆的赢利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株赢利4元,若每盆每增加1株,则平均每株赢利减少0.5元,要使每盆的赢利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆应多植x株,则可以列出的方程是 (　　)
A.(x+1)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(3+x)(4-0.5x)=15
8.某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干,然后以每本5元的价格出售,每天可售出20本.通过调查发现,这种笔记本的售价每本每降低0.1元,每天可多售出4本,为保证每天至少售出50本,该超市决定降价销售.设将这种笔记本每本的售价降低x元.
(1)每天的销售量是　　　　本;(用含x的代数式表示)?
(2)要想销售这种笔记本每天赢利60元,该超市需将每本的售价降低多少元?






9.网络购物已成为新的消费方式,催生了快递行业的高速发展,某快递公司今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件,假定每月投递的快递件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率;
(2)如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递,该公司现有16个快递小哥,请通过计算说明按此快递件数的增长速度,在不增加人手的情况下,该公司能否完成今年9月份的投递任务.






10.为促进新旧功能转换,提高经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为25万元,经过市场调研发现,该设备的月销售量y(台)和销售单价x(万元/台)满足如图9所示的一次函数关系.
(1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式(不用体现x的取值范围);
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于35万元/台,如果该公司想获得130万元的月利润,那么该设备的销售单价应是多少?

图9


答案
第1课时
1.A
2.解:设AB的长为x m,则BC的长为(50-2x)m.
根据题意,得x(50-2x)=300,
2x2-50x+300=0,
解得x1=10,x2=15.
当x=10时,50-2x=30>25(不合题意,舍去);
当x=15时,50-2x=20<25(符合题意).
答:当AB的长为15 m,BC的长为20 m时,可使矩形花园的面积为300 m2.
3.解:设小路的宽为x m.
根据题意,得(40-x)(32-x)=1140,
解得x1=2,x2=70(不合题意,舍去).
答:小路的宽为2 m.
4.B　[解析] 设动点P,Q运动t s后,能使△PBQ的面积为15 cm2,则BP为(8-t)cm,BQ为2t cm.
由三角形的面积计算公式列方程,得12×(8-t)×2t=15,
解得t1=3,t2=5(当t=5时,BQ=10,不合题意,舍去).
∴动点P,Q运动3 s时,能使△PBQ的面积为15 cm2.
故选B.
5.解:设经过x s,P,Q两点之间的距离是10 cm.根据题意,得62+(16-5x)2=102,
整理,得25x2-160x+192=0,
解得x1=1.6,x2=4.8.
答:经过1.6 s或4.8 s,P,Q两点之间的距离是10 cm.
6.A　[解析] 将两条纵向的道路向左平移,横向的道路向下平移,即可得草坪的长为(32-2x)m,宽为(20-x)m,根据草坪的面积为长与宽的乘积,即可列出方程.
7.C　[解析] 因为S矩形ABCD-S△APD-S△BPQ-S△CDQ=S△PDQ,所以12×6-12×12x-12×2x(6-x)-12×6×(12-2x)=28,化简、整理,得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
8.解:设AB=x m,则BC=(28-x)m.
依题意,得x(28-x)=192,
解得x1=12,x2=16.
∵点P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,现要把这棵树也围在花园内,∴28-x≥15,x≤13.
∴x=16不合题意,舍去,∴x=12.
答:AB的长为12 m.
9.解:(1)设切去的正方形的边长为x cm,则折成的方盒的底面为长(30-2x)cm,宽(12-2x)cm的矩形.
依题意,得(30-2x)(12-2x)=144.
故答案为(30-2x)(12-2x)=144.
(2)能.设切去的正方形的边长为y cm,则折成的长方体盒子的底面为长(30-2y2)cm,宽(12-2y)cm的矩形.
依题意,得(30-2y2) (12-2y)=104,
整理,得y2-21y+38=0,
解得y1=2,y2=19(不合题意,舍去),
∴盒子的体积=104×2=208(cm3).
答:能折出底面积为104 cm2的有盖盒子,盒子的体积为208 cm3.
第2课时
1.(32-x)　5x　(20+5x)　(32-x)(20+5x)　(32-x)(20+5x)=900　x1=2,x2=26　x=2　2
2.B
3.解:设每件应降价x元,则每件赢利(10-x)元,
每天可多售出10x件,每天一共售出(200+10x)件,
所以每天可获得利润(10-x)(200+10x)元.
根据题意列方程,得(10-x)(200+10x)=1250.
解得x1=-15,x2=5.
符合题意的解为x=5,则每件应降价5元.
50-5=45(元).
答:每件商品的售价应定为45元.
4.C　5.10%
6.解:(1)设2018年到2020年该村人均年收入的年平均增长率为x.
根据题意得20000(1+x)2=24200,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
所以2018年到2020年该村人均年收入的年平均增长率为10%.
(2)24200×(1+10%)=26620(元).
所以预测2021年该村的人均年收入是26620元.
7.D　[解析] 若每盆多植x株,则每株赢利(4-0.5x)元,每盆植(3+x)株,因此可得(3+x)(4-0.5x)=15.故选D.
8.解:(1)(20+40x)
(2)根据题意列方程,得(5-3-x)(20+40x)=60.
解得x1=0.5,x2=1.
当x=0.5时,每天的销售量是20+40×0.5=40(本);
当x=1时,每天的销售量是20+40=60(本).
因为每天至少售出50本,所以x=1.
答:超市需将每本的售价降低1元.
9.解:(1)设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x.
依题意,得10(1+x)2=12.1,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%.
(2)12.1×(1+10%)=13.31(万件),
0.8×16=12.8(万件).
∵13.31>12.8,
∴在不增加人手的情况下,该公司不能完成今年9月份的投递任务.
10.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,
依题意,得60=28k+b,40=32k+b.解得k=-5,b=200.
所以y与x的函数关系式为y=-5x+200.
(2)依题意知(x-25)(-5x+200)=130.
整理方程,得x2-65x+1026=0.
解得x1=27,x2=38.
∵此设备的销售单价不得高于35万元/台,
∴x=38舍去,∴x=27.
答:该设备的销售单价应是27 万元/台.