第一章 勾股定理 课堂精练 2021-2022学年北师大版数学八年级上册（word版含答案）

1.1.1探索勾股定理
一、选择题
1.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°,a=8,c=17,则b等于 (　　)
A.25 B.17 C.15 D.13
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠B=90°,则 (　　)
A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 C.b2+c2=a2 D.a=c
3.已知一个直角三角形的斜边长为20,一条直角边长为16,那么它的周长是 (　　)
A.160 B.48 C.60 D.96
4.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=3,则正方形ABCD的面积是(　　)

A.4 B.8 C.10 D.12
5.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高为 (　　)
A.5 B.3 C.1.2 D.2.4
6.如图,长为12 cm的弹性皮筋拉直放置在水平的直线l上,固定两端A和B,然后把中点C竖直向上拉升8 cm至点D,使得DC⊥AB,则弹性皮筋被拉长了 (　　)

A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
7.如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为 (　　)

A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2
二、填空题
8.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°.
(1)若a=7,b=24,则c=　　　　;?(2)若a=0.5,c=1.3,则b=　　　　;?
(3)若b=13,c=512,则a=　　　　;?(4)若a∶b=3∶4,c=20,则S△ABC=　　　　.?
9.若直角三角形的两边长分别为5,12,则第三边长的平方为　　　　　　.?
10.如图,为修铁路要凿通隧道BC,测得∠A+∠B=90°,AB=5 km,AC=4 km,若每天凿隧道0.3 km,则需　　　　天才能把隧道凿通.?

11.如图,从电线杆离地面5 m高处向地面拉一条长为13 m的固定缆绳,这条缆绳与地面的固定点距离电线杆底部的距离为　　　　m.?

12.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是8 cm,正方形A的面积是12 cm2,正方形B的面积是9 cm2,正方形C的面积是13 cm2,则正方形D的面积是　　　　cm2.?

13.已知:如图,△ACB的面积为30,∠C=90°,BC=a,AC=b,正方形ADEB的面积为169.则(a-b)2的值为　　　　.?

三、解答题
14.根据所给条件,求下列图形中的未知边的长度.
(1)求图①中BC的长;
(2)求图②中BC的长.



15.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,BD=9.
(1)求AB的长;
(2)求△ABC的面积.


16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC边上一点,且DA=DB=5 cm,△DAB的面积为10 cm2,求CD的长.

17.如图,某小区的中心广场附近有一块四边形空地ABCD,计划改建成一个小花圃,经测量,∠C=∠ADB=90°,BC=12 m,CD=9 m,AB=17 m.求:
(1)BD和AD的长;
(2)四边形花圃ABCD的面积.

　　18、如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路:

　　(1)请你按照他们的解题思路完成解答过程;
(2)填空:在△GEF中,GE=15,EF=13,GF=4,则△GEF的面积是　　　　.?



1.1.2验证勾股定理及其简单计算
一、选择题
1.如图,不能用来验证勾股定理的是(　　)

2.如图,为修铁路需凿隧道AC,测得∠ACB=90°,AB=130 m,BC=120 m,若每天凿隧道5 m,则把隧道凿通需要 (　　)

A.10天 B.9天 C.8天 D.11天
二、填空题
3.如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以开通隧道由A地到B地直接修建(除隧道外部分仍修建高速公路),已知高速公路造价为每千米300万元,隧道总长为2千米,隧道造价为每千米500万元,AC=80千米,BC=60千米,则改建后可省工程费用　　　　万元.?

4.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地高度AB为2.5米,当人进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对着门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则AD=　　　　米.?

三、解答题
5.图是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形,这些直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c.请利用这个图形验证勾股定理.

6.某工厂的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AB为直径的半圆,其中AD=2.3米,AB=2米,现有一辆装满货物的卡车,高2.5米,宽1.6米,则这辆卡车能否通过厂门?说明理由.


　7、【问题情境】
小明用四张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗?
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现:大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形的面积,
从而得数学等式:　　　　　　　　　　　　,(用含字母a,b,c的式子表示)?
化简,得　　　　　　　　.?
【变形运用】
(1)如图①,若b=2a,则小正方形面积∶大正方形面积=　　　　;?
(2)现将图①中上方的两直角三角形向内折叠,如图②,若a=4,b=6.求空白部分的面积.

1.2一定是直角三角形吗
一、选择题
1.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是 (　　)
A.15,20,25 B.54,1,23
C.6,12,14 D.2,3,5
2.下列各组数中,不是勾股数的是 (　　)
A.6,8,10 B.9,41,40
C.8,12,15 D.5k,12k,13k(k为正整数)
3.若△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且三边满足(c-a)(c+a)-b2=0,则下列结论正确的是 (　　)
A.△ABC是直角三角形,且∠C为直角
B.△ABC是直角三角形,且∠B为直角
C.△ABC是直角三角形,且∠A为直角
D.△ABC不是直角三角形
4.如图所示,AD为△ABC的中线,且AB=13,BC=10,AD=12,则AC的长为 (　　)

A.10 B.11 C.12 D.13
5.如图,在由边长均相同的小正方形组成的网格中标出了AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 (　　)

A.CD,EF,GH B.AB,CD,EF C.AB,CD,GH D.AB,EF,GH
6.在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中:
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
则当a=20时,b+c的值为 (　　)
A.162 B.200 C.242 D.288
二、填空题
7.李老师要做一个直角三角形教具,做好后量得三边长分别是30 cm,40 cm和50 cm,则这个教具　　　　.(填“合格”或“不合格”)?
8.已知a,b,c是△ABC的三边长,若|a-b|+|a2+b2-c2|=0,则△ABC的形状是　 .?
9.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C都是小正方形的顶点,则AB2=　　　　,
∠ABC=　　　　°.?

10.已知等腰三角形ABC中,底边BC=20,D为AB上一点,且CD=16,BD=12,则△ABC的周长为　　　　.?
三、解答题
11.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,如果CD=6,AD=9,BD=4,那么△ABC是直角三角形吗?请说明理由.


12.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,CD=3,AD=1,求∠DAB的度数.

13.如图,在由边长均为1的小正方形组成的网格图中哪些是直角三角形?并说明理由.

14.如图,小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处,某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水,然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水,最后再沿另一方向走100 m回到家A处.小明在河边B处取水后是沿哪个方向走的?

15.如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶AC=3∶4∶5,它的周长为36 cm,点P从点A出发沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动,点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动.如果点P,Q同时出发,那么经过3 s时,△BPQ的面积为多少?

16、 题目:王老师在一次“构造勾股数”的探究性学习中,给出了下表:
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22-12
32-12
32-22
42-32
…
　　其中m,n为正整数,且m>n.
(1)观察表格,当m=2,n=1时,对应的a,b,c的值能不能为直角三角形三边的长?说明你的理由.
(2)探究a,b,c与m,n之间的关系,并用含m,n的代数式表示:a=　　　　,b=　　　　,
c=　　　　.?
(3)以a,b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形?如果是,请说明理由;如果不是,请举出反例.


1.3勾股定理的应用
一、选择题
1.如图,甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行,乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行,则2小时后,两船相距 (　　)

A.40海里 B.45海里
C.50海里 D.55海里
2.图是一扇高为2 m,宽为1.5 m的门框,李师傅有3块薄木板,尺寸如下:①号木板长3 m,宽2.7 m;②号木板长2.8 m,宽2.8 m;③号木板长4 m,宽2.4 m.可以从这扇门(木框厚度忽略不计)通过的木板是 (　　)

A.①号 B.②号
C.③号 D.均不能通过
3.如图,长方体的高为8 cm,底面是边长为3 cm的正方形,现有一点从点A处出发,沿长方体表面到达点C处,则该点所走的最短路程是 (　　)

A.8 cm B.9 cm
C.10 cm D.11 cm
4.在一次课外社会实践中,王强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多
1 m,当他把绳子的下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 (　　)
A.13 m B.12 m C.4 m D.10 m
5.如图,一个长、宽、高分别为4 cm,3 cm,12 cm的长方体盒子能容下的木棒最长为(　　)

A.11 cm B.12 cm
C.13 cm D.14 cm
6.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16 cm,在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿4 cm的点A处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径长为20 cm,则该圆柱的底面周长为 (　　)

A.12 cm B.14 cm C.20 cm D.24 cm
二、填空题
7.如图所示,要建一个蔬菜大棚,棚宽3.2 m,高2.4 m,长15 m,则覆盖在顶上的塑料薄膜(网格部分)需要　　　　m2.?

8.课间时,学生小李看见教室里的一根长25分米的竹竿倒在墙角(如图),竿足距墙底端15分米,于是他顺手将竹竿扶正,使竹竿的顶端上升了4分米,那么竿足将移动　　　　分米.?

9.如图所示,将一支长15 cm的钢笔置于底面直径为6 cm,高为8 cm的圆柱形笔筒中,设钢笔露在外面的长度为h cm,则h的最小值是　　　　.?

10.如图,长方体的底面是边长为3 cm的正方形,高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为　　　　cm.?

11.图是秋千示意图,秋千在平衡位置时,下端B距离地面0.6 m,当秋千荡到AB1的位置时,下端B1距离平衡位置的水平距离EB1为2.4 m,距离地面1.4 m,则秋千AB的长为　　　　
m.?

三、解答题
12.读诗求解:“出水三尺一红莲,风吹花朵齐水面,水平移动有六尺,水深几何请你算.”



13.如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC.由于某种原因,由村庄C到取水点A的路现在不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=1.5千米,CH=1.2千米,HB=0.9千米.
(1)CH是不是从村庄C到河边的最近路?请通过计算加以说明;
(2)求新路CH比原路CA少多少千米.


14、问题:如图,一圆柱的高AB=5 dm,底面半径为5 dm,BC是上底面直径,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.

小明设计了两条路线:
路线1:沿侧面展开图中的线段AC爬行,如图所示:

设路线1的长度为l1,则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2.
路线2:圆柱的高AB+底面直径BC.
设路线2的长度为l2,则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225.
因为l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0,所以l12>l22,所以l1>l2,所以要选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1 dm,高AB仍为5 dm”,继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1:l12=AC2=AB2+BC2=25+π2;
路线2:l22=(AB+BC)2=49.
因为l12 (2)请你帮小明继续研究:设圆柱的底面半径为r,高为h,当蚂蚁走上述两条路线的路程出现相等情况时,求出此时h与r的比值(本小题π的值取3).
教师详解详析
[课堂达标]
1.C　2.B　3.B　4.B　5.D
6.C　[解析] 根据题意,得AD=BD,AC=BC,CD⊥AB,则在Rt△ACD中,AC=12AB=12×12=6(cm).因为CD=8 cm,根据勾股定理,得AD2=AC2+CD2=62+82=100,所以AD=10 cm,所以AD+BD-AB=2AD-AB=20-12=8(cm),即弹性皮筋被拉长了8 cm.故选C.
7.C　8.(1)25　(2)1.2　(3)14　(4)96　
9.169或119　[解析] (1)若长为12的边是直角边,则第三边长的平方为52+122=169;
(2)若长为12的边是斜边,则第三边长的平方为122-52=119.
所以该三角形的第三边长的平方是169或119.
10.10　11.12
12.30
13.49　[解析] 因为∠C=90°,BC=a,AC=b,△ACB的面积为30,正方形ADEB的面积为169,
所以12ab=30,a2+b2=169.
所以(a-b)2=a2+b2-2ab=169-120=49.
故答案为49.
14.解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=172-82=152,所以BC=15.
(2)在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2=AB2+AD2=32+42=52.
在Rt△CDB中,由勾股定理,得BC2=CD2-BD2=132-52=122,所以BC=12.
15.解:(1)因为CD⊥AB,
所以∠CDB=∠CDA=90°.
在Rt△CDB中,由勾股定理,得CD=12,
在Rt△CDA中,由勾股定理,得AD=16,
所以AB=AD+BD=16+9=25.
(2)S△ABC=12AB·CD=12×25×12=150.
16.解:因为△DAB的面积=12DA·BC,
所以12×5BC=10,
解得BC=4.
因为DB=5,
所以由勾股定理,得CD2=DB2-BC2=52-42=9,解得CD=3.
所以CD的长为3 cm.
17.解:(1)因为∠C=90°,BC=12 m,CD=9 m,
所以在Rt△BCD中,BD2=BC2+CD2=122+92=225,
所以BD=15 m.
因为∠ADB=90°,BD=15 m,AB=17 m,
所以在Rt△ADB中,AD2=AB2-BD2=172-152=64,
所以AD=8 m.
(2)S四边形ABCD=12AD·BD+12BC·CD=12×8×15+12×12×9=114(m2).
故四边形花圃ABCD的面积是114 m2.
[素养提升]
[解析]
(2)如图,过点F作FH⊥GE于点H.
设HG=x,则HE=15-x.
由勾股定理得FH2=GF2-HG2=42-x2,
FH2=EF2-HE2=132-(15-x)2,
则42-x2=132-(15-x)2,
解得x=2.4,
所以FH=3.2.
所以S△GEF=12GE·FH=12×15×3.2=24.
故答案为24.
解:(1)设BD=x,则CD=14-x.
由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,
AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,
则152-x2=132-(14-x)2,
解得x=9.
所以AD=12,
所以S△ABC=12BC·AD=12×14×12=84.
(2)24
教师详解详析
[课堂达标]
1.D　[解析] A,B,C项都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可验证勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D项不能利用图形面积验证勾股定理,故此选项符合题意.故选D.
2.A　3.11600　4.1.5
5.解:该图形的面积有两种求法:
一种为最大正方形的面积+两个直角三角形的面积;
一种为两个较小正方形的面积+两个直角三角形的面积.
根据两种求法的面积相等可得c2+2×12ab=b2+2×12ab+a2,化简,得a2+b2=c2.(验证方法不唯一,合理即可)
6.解:能通过.理由如下:
如图,设点O为半圆的圆心,则O为AB的中点,在OB上取OF=1.6÷2=0.8,
过点F作FG⊥AB交半圆O于点G,连接OG,
所以OG=1.
延长GF交DC于点E.
在Rt△OFG中,FG2=OG2-OF2=12-0.82=0.36,
所以FG=0.6,
则EG=0.6+2.3=2.9(米)>2.5米.故能通过.
[素养提升]
解:【探索新知】　
(a+b)2=c2+4×12ab　a2+b2=c2
【变式运用】
(1)由题意知b=2a,c2=a2+b2,所以c2=a2+(2a)2=5a2.
所以小正方形面积∶大正方形面积=c2∶(a+b)2=5a2∶9a2=5∶9.故答案为5∶9.
(2)空白部分的面积=边长为c的正方形的面积-两个直角三角形的面积.
因为c2=a2+b2=42+62=52,12ab=12×4×6=12,
所以空白部分的面积=52-12×2=28.
教师详解详析
[课堂达标]
1.A　2.C　3.A　4.D　5.D　6.B
7.合格
8.等腰直角三角形
9.10　45
10.1603
11.解:△ABC是直角三角形.
理由:因为CD⊥AB,
所以∠ADC=∠CDB=90°.
因为CD=6,AD=9,BD=4,
所以AC2=CD2+AD2=36+81=117,CB2=CD2+BD2=36+16=52,
所以AC2+CB2=169=132=AB2,
所以△ABC是直角三角形.
12.解:因为∠B=90°,AB=BC=2,
所以AC2=AB2+BC2=22+22=8,∠BAC=45°.
因为CD=3,AD=1,所以AC2+AD2=8+1=9,CD2=32=9,所以AC2+AD2=CD2,
所以△ACD是直角三角形,所以∠CAD=90°,
所以∠DAB=45°+90°=135°.
故∠DAB的度数为135°.
13.解:△ABC,△NML是直角三角形.
理由:因为AB2=22+22=8,BC2=32+32=18,
AC2=12+52=26,8+18=26,
所以AB2+BC2=AC2,
所以△ABC是直角三角形;
因为EF2=22+32=13,FH2=12+22=5,EH2=42=16,13+5≠16,
所以△EFH不是直角三角形;
因为NM2=32+22=13,ML2=32+22=13,NL2=12+52=26,13+13=26,
所以NM2+ML2=NL2,
所以△NML是直角三角形.
14.解:如图,因为AB=60 m,BC=80 m,AC=100 m,
所以AB2+BC2=AC2.
所以∠ABC=90°.
因为AD∥NM,
所以∠NBA=∠BAD=30°.
所以∠MBC=180°-90°-30°=60°.
所以小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向走的.
15.解:设AB=3x cm,则BC=4x cm,AC=5x cm.
因为△ABC的周长为36 cm,
所以AB+BC+AC=36 cm,
即3x+4x+5x=36,解得x=3,
所以AB=9 cm,BC=12 cm,AC=15 cm.
因为AB2+BC2=AC2,
所以△ABC是直角三角形,且∠B=90°,
经过3 s时,BP=9-3×1=6(cm),BQ=2×3=6(cm),
所以S△BPQ=12BP·BQ=12×6×6=18(cm2).
故经过3 s时,△BPQ的面积为18 cm2.
[素养提升]
解:(1)能.理由:当m=2,n=1时,a=5,b=4,c=3.
因为32+42=52,
所以当m=2,n=1时,对应的a,b,c的值能为直角三角形三边的长.
(2)观察得a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2.
(3)以a,b,c为边长的三角形一定为直角三角形.
理由:因为a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,
b2+c2=4m2n2+m4-2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4,
所以a2=b2+c2.
所以以a,b,c为边长的三角形一定为直角三角形.
教师详解详析
[课堂达标]
1.C　2.C　3.C　4.B
5.C　[解析] 因为32+42=52,所以底面对角线的长为5 cm.因为高为12 cm,122+52=169=132,所以长方体盒子能容下的木棒最长为13 cm.
6.D　7.60　8.8　9.5　10.13　11.4
12.解:如图所示,AC=6尺,
设AB=h尺,则BC=(h+3)尺.
由勾股定理,得BC2=AB2+AC2,
即(h+3)2=62+h2,解得h=4.5.
即水深4.5尺.
13.解:(1)是.说明:在△CHB中,因为CH2+HB2=1.22+0.92=2.25,CB2=1.52=2.25,
所以CH2+HB2=CB2,
所以△BHC为直角三角形,且∠BHC=90°,
所以CH⊥AB,
所以CH是从村庄C到河边的最近路.
(2)设AC=x千米,则AB=x千米,AH=(x-0.9)千米.
由勾股定理,得AC2=AH2+CH2,即x2=(x-0.9)2+1.22,解得x=1.25.
1.25-1.2=0.05(千米).
因此,新路CH比原路CA少0.05千米.
[素养提升]
解:(1)1
(2)l12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2,l22=(AB+BC)2=(h+2r)2,
l12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h].
　　因为r恒大于0,所以当l1=l2时,l12-l22=0,即(π2-4)r=4h,
则r=4?π2-4,即h∶r≈5∶4.