广东省中山一中2012届高三热身练数学文试题

2012中山一中高三热身练文科数学试题
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，那么集合为( )
A． B． C． D．
3. 下列有关各项不正确的是( )
A．若为真命题，则为真命题．
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
D．命题，使得，则：，使得．
4．若利用计算机在区间上产生两个不等的随机数和，则方程有不等实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
5若双曲线的渐近线方程为则双曲线的一个焦点F到渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．．
6．已知实数满足则的最大值是( )
A. B. C. D.
7．已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：( )
①若；②若；
③如果是异面直线，那么与相交；
④若且，则且其中正确的命题是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
8．按如图所求示的程序框图运算，若输入的x值为2，则输出的k值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①-2是函数的极值点；②1是函数的最小值点；③在处切线的斜率小于零；④在区间（-2，2）上单调递增。
则正确命题的序号是( )
A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③
10．如图，在平面直角坐标系中，、、，映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（ ）
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11～13题）
11．函数的定义域是 .
12．已知向量==, 若，则的最小值为 .
13．在等比数列中，若是方程的两根，则的值是 .
（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题。两题都答的按第14题正误给分。）
14．（极坐标与参数方程选做题）点M，N分别是曲线上的动点，则|MN|的最小值是 .
15．（几何证明选讲选做题）从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=4，AC=8，圆O半径为5，则圆心O到直线AC的距离为 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分为12分）如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点，观察对岸的点,测得，,且米．
（1）求；
（2）求该河段的宽度．
17．（本小题满分12分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩xn 70 76 72 70 72
（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。
18．（本小题满分14分）如图1，在正三角形ABC中，AB=3，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，AE=CF=CP=1. 将沿EF折起到的位置，使平面与平面BCFE垂直，连结A1B、A1P（如图2）.
（1）求证：PF//平面A1EB；
（2）求证：平面平面A1EB；
（3）求四棱锥A1—BPFE的体积.
19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，点在直线上，为常数，．
（1）求；
（2）若数列的公比,数列满足，求证：为等差数列，并求；
（3）设数列满足，为数列的前项和，且存在实数满足，，求的最大值．
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知向量（），，动点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；(2)当时，过点(０，１)，作轨迹T的两条互相垂直的弦、，设、 的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知，函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）若，求函数的单调区间；
（ⅱ）若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线在其图象上的两点，（）处
的切线分别为．若直线与平行，试探究点与点的关系，并证明你的结论．
2012中山一中高三热身练文科数学试题
参考答案及评分标准
一、选择题： CDABC DBBAA
二、填空题：11。 12．6 13． 14。1 15。4
三、解答题：
16．解：（1）
…4分
（2）∵，∴,
由正弦定理得：∴ …7分
如图过点作垂直于对岸，垂足为,则的长就是该河段的宽度。
在中，∵,
＝（米） …11分
∴该河段的宽度米。 …12分
17.解：（1）
，
。。。。。。。。。。。6分
（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：
{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，
选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：
{1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，故所求概率为 。。。。。。。12分
18．（1）证明：在正三角形ABC中∵PC=FCAF=BPPF//ＢＥ
又 //………4分
（2）
即
又
平面平面A1EB…...9分
（3）由（2）知且
………………14分
19．解（1）由题设， ①……………1分
………2分
由①，时， ② ………………3分
①②得， ……………4分
……………………………………5分
（2）由（1）知化简得：
是以1为首项、为公差的等差数列，………………………8分
∴ ………………10分
（3）由（2）知
为数列的前项和，因为，所以是递增的……12分
所以要满足，， ………………13分
所以的最大值是 ………………………14分
20．解：（1）∵ ∴
得------------------------------2分
当时，方程为表示抛物线；-----------------------3分
当时，方程表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆；----------------4分
当且时，方程表示椭圆；---------------------------------5分
了 当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.-- --------------6分
(2) 当时，轨迹T的方程为。
设，
直线AB的方程为，联立有：
∴，
∴点Ｍ的坐标为． （8分）
同理可得：点的坐标为． （10分）
直线的斜率为，
其方程为，整理得，
显然，不论为何值，点均满足方程，
∴直线恒过定点． （14分）
21．解析：（Ⅰ）（i）因为，所以， ……………………1分
则， 而恒成立，
所以函数的单调递增区间为． ……………………4分
（ii）不等式在区间上有解，
即 不等式在区间上有解，
即 不等式在区间上有解，
等价于不小于在区间上的最小值． ……………………6分
因为时，，
所以的取值范围是． ……………………9分
（Ⅱ）因为的对称中心为，
而可以由经平移得到，
所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称． ……………………10分
对猜想证明如下：
因为，
所以，
所以，的斜率分别为，．
又直线与平行，所以，即，
因为，
所以，， ……………………12分
从而，
所以．
又由上 ，
所以点，（）关于点对称．
故当直线与平行时，点与点关于点对称． ……………………14分
M