广东省中山一中2012届高三热身练数学理试题

2012中山一中高三热身练理科数学试题
一、选择题： (本大题共8题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1、已知集合，，则 D
A． B． C．{ D．
2、若，，则 A
A． B． C． D．
3、4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同安排方法有C
A．12 B．10 C．8 D．6
4、设f(x)=,则的值为C
A． B． C． D．
5、下列四个命题中，正确的是C
A．已知服从正态分布，且，则
B．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位
C．已知命题;命题．则命题“”是假命题
D．已知直线,，则的充要条件是 =-3
6、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是
第一个数是1，
第二个数比第一个数大1，
第三个数比第二个数大2，
第四个数比第三个数大3，……
以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图
如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入D
A． B．
C． D．
7、已知为内一点，满足, ,且,则的面积为 B
A. B. C. D.
8、 记集合T= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,M=,将M中的元素按从大到小排列，则第2012个数是 A
A. B.
C. D.
二、填空题：
9、复数的虚部是 1
10、已知()n展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为____
11、已知数列的前项和，且满足，则正整数_____8
12、设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：
若，，则 若，，则
若，，则 若，，则
其中真命题的序号是
13已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则AB的最小值为 ４
(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)
14、(极坐标与参数方程)已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则MN的最大值为____________
15、(几何证明选讲选做题)如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连结BC与圆0交于F，若∠CFE=，则∠DEB___________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16、(本小题满分12分)
已知函数(>0,0<)的最小正周期为，且.
(1)求的值；(2)若
17、(本小题满分12分)
如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）试确定点的位置，使得平面；
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．
18、(本小题满分14分)
设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为．
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；
（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望．
19、(本小题满分14分)
已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（II）斜率为的直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记HYPERLINK " http://www./"为（为坐标原点）的面积，求的值．
20、(本小题满分14分)
已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；
(3)设,的导数为,令
求证：
21、(本小题满分14分)
已知为实数，数列满足,当时，
(1)当时，求数列的前100项的和；
(2)证明：对于数列，一定存在，使；
(3)令,当时，求证：
2012中山一中高三热身练理科数学试题
参考答案
DACC CDBA 9、1 10、 11、8 12、①③ 13、4 14、 15、
16、(1)由函数的周期为π，可知，所以w=2………………………………………2分
又由f 又…………5分
(2)由f…………………………7分
因为α又sin…9分
所以…………12分
17、解析：（Ⅰ）连结，∵平面，平面，∴，
又∵，，
∴平面，
又∵，分别是、的中点，∴，
∴平面，又平面，
∴平面平面；---------------------------------------4分
（Ⅱ）连结，∵平面，平面平面，∴，
∴，故 ----------------------------6分
（Ⅲ）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，点为的中点，∴，
∴为所求二面角的平面角， ---------------------------------8分
∵点是的中点，∴，
所以在矩形中，可求得，，，----------10分
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值为． ------------------------------12分
18、（1）依题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )可知平面区域的整点为共有13个，
平面区域的整点为共有5个， ∴．
（2）依题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )可得：平面区域的面积为：，平面区域的面积为：．
在区域内任取1个点，则该点在区域内的概率为，
易知：的可能取值为，
．
∴的分布列为：
0 1 2 3
的数学期望．
（或者： ，故）
19、解（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为HYPERLINK " http://www./"，动圆半径为R，
则 ，且HYPERLINK " http://www./"
可得 ．
由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有HYPERLINK " http://www./"，从而得，整理得HYPERLINK " http://www./"，即为动圆圆心C的轨迹M的方程．
（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为HYPERLINK " http://www./"，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为HYPERLINK " http://www./"．
由于该直线经过点A（0,6），所以有HYPERLINK " http://www./"，得．因为点P在第一象限，所以HYPERLINK " http://www./"，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为．
把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得HYPERLINK " http://www./"，
解得或4，可得点Q的坐标为HYPERLINK " http://www./"．
所以
20、解：(1)∵,∴，由题意∴f/(1)=1+2a-b=1，
∴b=2a． ① ……2分 ∵f(x)有极值，∴方程f/(x)=x2+2ax-b=0有两个不等实根．
∴△=4a2+4b>0、 ∴a2+b>0． ②
由①、②可得，α2+2a>0． ∴a<-2或a>0．故实数a的取值范围是 …4分
(2)存在.……………5分
由(1)可知，令f/(x)=0
∴x=x2时，f(x)取极小值，则f（x2）==1,
∴……………………………………………………7分
若x2=0，即则a=0(舍)．……………………8分
若
∴存在实数,使得函数f(x)的极小值为1 ………9分
(3)∵,
……．l0分
∴其中等号成立的条件为x=1…………………………………………………………13分
…………………………………………14分
21、解：(1)当a=100时，由题意知数列的前34项成首项为100，公差为-3的等差数
列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，从而
………………(3分)
.………………(5分)
(2)证明：①若0②若a1>3此时数列的前若干项满足an-an-1=3,即an=a1-3(n-1).
设,则当n=k+1时，
从而此时命题成立……(8分)
③若a1≤0，由题意得a2=4-a1>3，则有②的结论知此时命题也成立．
综上所述，原命题成立……………(9分)
(3)当2所以 ……………(10分)
因为bn>0，所以只要证明当n≥3时不等式成立即可．而
(12分)
①当n=2k(k∈N*且k≥2)时，
……（13分）
②当n=2k-l(k∈N*且k≥2)时，出于bn>0，所以
综上所述，原不等式成立………(14
第17题图
A
A