1.5.1全称量词与存在量词课件（共17张PPT）-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语
1.5.1 全称量词与存在量词
探究新知
下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？
（1）????>????
?
（2）????????+????是整数
?
（3）对所有的????∈????，????>????
?
（4）对任意一个????∈????，????????+????是整数
?
语句（1）（2）不知道变量????代表什么数，无法判断真假，不是命题；
?
语句（3）（4）在语句（1）（2）的基础上，用短语“所有的”、“任意一个”对变量????进行限定，可以判断真假，是命题。
?
归纳新知
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所以的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示。
?
（2）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等。
（3）全称量词命题（全称命题）：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。
全称量词命题：“对????中任意一个????，????????成立”
?
符号简记为“?????∈????，????????”
?
典例讲解
例1 判断下列全称量词命题的真假
（1）所有的素数都是奇数；
（2）?????∈????，????+????≥????；
（3）对任意一个无理数????，????????也是无理数.
?
2是素数，但2不是奇数.
假
?????∈????，总有????≥????，因而????+????≥????.
?
真
????是无理数，但????????=????是有理数.
?
假
技巧总结
判断全称量词命题“?????∈????，????????”是真命题的方法：
需要对集合????中的每个元素????，证明????????成立；
判断全称量词命题“?????∈????，????????”是假命题的方法：
只需在集合????中找到一个元素????，使????????不成立即可。
（举反例）
?
跟踪训练
判断下列全称量词命题的真假
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）?????∈????，????????∈????.
?
真
假
真
探究新知
下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？
（1）????????+????=????
?
（2）????能被2和3整除
?
（3）存在一个????∈????，使????????+????=????
?
（4）至少有一个????∈????，????能被2和3整除
?
语句（1）（2）不知道变量????代表什么数，无法判断真假，不是命题；
?
语句（3）（4）在语句（1）（2）的基础上，用短语“存在一个”、“至少有一个”对变量????进行限定，可以判断真假，是命题。
?
归纳新知
1、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示。
?
（2）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等。
（3）存在量词命题（特称命题）：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。
存在量词命题：“存在????中的元素????，????????成立”
?
符号简记为“?????∈????，????????”
?
典例讲解
例1 判断下列存在量词命题的真假
（1）有一个实数????，使????2+2????+3=0；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形.
?
因为?=?????????????×????=??????
假
平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行
假
正方形既是平行四边形又是菱形.
真
技巧总结
判断存在量词命题“?????∈????，????????”是真命题的方法：
只需在集合????中找到一个元素????，使????????成立即可；
（举例证明）
判断存在量词命题“?????∈????，????????”是假命题的方法：
需要证明在集合????中，使????????成立的元素????不存在。
?
跟踪训练
判断下列存在量词命题的真假
（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数????，使得????????+????为奇数；
（3）?????∈????????是无理数，????????是无理数.
?
真
假
真
课堂小结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给……
存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的……
符号
?
?
命题
含有全称量词的命题是全称量词命题
含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式
“对????中任意一个????，????????成立”
符号简记为“?????∈????，????????”
“存在????中的元素????，????????成立”
符号简记为“?????∈????，????????”
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给……
存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的……
符号
命题
含有全称量词的命题是全称量词命题
含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式
1、全称量词与存在量词
课堂小结
2、全称量词与存在量词的真假判断
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
全称量词命题
“?????∈????，????????”
存在量词命题
“?????∈????，????????”
判断为真
需要对集合????中的每个元素????，证明????????成立；
只需在集合????中找到一个元素????，使????????成立即可；
（举例证明）
判断为假
只需在集合????中找到一个元素????，使????????不成立即可。
（举反例）
需要证明在集合????中，使????????成立的元素????不存在。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
判断为真
判断为假
能力提升
题型一：全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1 下列命题，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 （填序号）
①平行四边形的对角线互相平分；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④存在一个实数????，使得等式?????????????????+????=????成立；
⑤有一个偶数是素数。
?
①②③
④⑤
全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略。
能力提升
题型二：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 已知命题????：?????∈????，????+2>????2，命题????：?????∈????，????2>0，则（ ）
A. 命题????，????都是真命题
B. 命题????是真命题，命题????是假命题
C. 命题????是假命题，命题????是真命题
D. 命题????，????都是假命题
?
解析：当????=????时，????+????>????????，故命题????为真命题；
当????=????时，????????=????，故命题????为假命题，本题选B.
?
B
全称量词命题“?????∈????，????????”判断为假：举反例；
存在量词命题“?????∈????，????????”判断为真：举正例。
?
变式训练
判断下列命题的真假
（1）任意的矩形对角线相等；
（2）?????∈????，????????（3）至少存在一个整数，它既不是合数，也不是素数；
（4）?????∈????，?????，????，????????+????>????
?
真
假
真
假
解析：（3）举正例：1既不是合数，也不是素数
（4）举反例：当????=?????时，????????+????=??????
能力提升
题型三：依据含量词命题的真假求参数的取值范围
例3 若命题“?????∈?????????
解析：“?????∈????????即当????????所以????×?????????≤????，即????≥????????，
所以????的取值范围为：????≥????????
?
????≥????????
?
对于全称（存在）量词命题为真的问题，实质是不等式恒成立（能成立）问题，通常转化为求函数的最大值（或最小值）。
变式训练
若命题“?????∈????，?????????????????+?????????=????”为真命题，则实数????的取值范围是 .
?
解析：“?????∈????，?????????????????+?????????=????”为真命题
即?=?????