4.1函数的奇偶性（第三课时）课件（共35张PPT）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.1函数的奇偶性
第三课时
教学目标
01
02
联合求值，特别是最值
03
联合解不等式、比较大小
单调性联合研究性质
奇偶性与单调性综合
奇偶性与单调性联合解不等式
重点
难点
函数具有隐性，如何挖掘
环节一
联合研究性质
例1.设F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,若?????,????????? 是函数F(x)的单调递增区间,则一定是F(x)的单调递减区间的是 (　　)
A. ?????????
提示
　1.设f（x)是偶函数，在区间????,????上是减（增）函数，则f????在区间?????,?????上是增（减）函数．
?
　2.设f（x)是奇函数，在区间????,????上是减（增）函数，则f????在区间?????,?????上是减（增）函数．
?
奇同偶异
例1.设F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,若?????,????????? 是函数F(x)的单调递增区间,则一定是F(x)的单调递减区间的是 (　　)
A. ?????????
例2.设函数f(x)=x3- ???????? ,则f(x) (　　)
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
?
【解析】选A.因为函数f（x) =x3- ???????? 的定义域为?
例3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式.
(2)画出函数f(x)的图象.
(3)根据图象,写出函数f(x)的单调递减区间
【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,
所以f(x)=f(-x).
当x<0时,-x>0,所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.
综上，????????=?????????+
(2)函数f(x)的图象如图所示:
(3)由(2)中图象可知,f(x)的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞)
例4.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,g(x)=-x2-mx在(-∞,0)内单调递增,则实数m= (　　)
A.-2 B.±2 C.0 D.2
【解析】选A.由函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,得m2-4=0.解得m=±2.
当m=2时,g(x)=-x2-2x,该函数在(-∞,0)内不单调递增,故m≠2.当m=-2时,g(x)=-x2+2x,该函数在(-∞,0)内单调递增,故m=-2.
环节二
联合求值
例5.已知奇函数f(x)在区间
环节三
联合解不等式
提示
　1.这两个性质联合在一起解不等式，本质是脱法则，化不等式为代数不等式。需要以下两方面经验
经验一 ????,????2∈????↑+ fx1 ????,????2∈????↓+ fx1x2
经验二 要使用上述规则，要求：自变量同属一个单调区间；单调性已知；不等式标准。如果有一个因素不符合要求，就考虑用奇偶性辅助完成。

?
提示
2.【奇同】奇函数在对称区间上增减性相同。但要注意的是，两个区间是不是【统】的。例如y=1x在?∞,0,0,+∞上都是减函数，但使用时还需要区分对待，不可大统一。
?
3.【偶异】偶函数在对称区间上增减性相反。所以，两个区间是不会【统】的。这就给使用带来了麻烦，为了避免这个麻烦，我们发现偶函数有f?x=fx=fx,无论自变量正负，都可以通过加绝对值变成非负数，保证两个变量属同一区间。
?
角度一
奇偶性和增减性已知
例6.已知????????是R上奇函数且在????,+∞是增函数，????????
角度一
奇偶性和增减性已知
例7.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f(3)A.a>1 B.a<-2
C.a>1或a<-2 D.-1分析
三个要素：函数定义域R，单调性已知了一半，另一半需借助偶函数推导；两个自变量分布在同一增区间，还是一增一减区间，不明确；不等式是标准形态。
角度一
奇偶性和增减性已知
例7.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f(3)A.a>1 B.a<-2
C.a>1或a<-2 D.-1分析
需要解决的问题是：明确增减区间，控制两个自变量在同一单调区间内。
角度一
奇偶性和增减性已知
例7.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f(3)A.a>1 B.a<-2
C.a>1或a<-2 D.-1【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数,且f(3)所以3<|2a+1|,解得a>1或a<-2.
角度二
奇偶性和增减性隐含
例8.定义在R上偶函数????????满足：对?∞,
角度二
奇偶性和增减性隐含
例9.定义在R上奇函数????????满足：对上任意不相等的????????,????????，有????????????????????+????????????????????角度二
奇偶性和增减性隐含
例10.????????=????????????
特别提示
不要过分拘泥于【套用增减性脱f】，面对复杂的不等式，要善于【数形结合】，有的题也可以用【代入法】
角度三
代入法
例11.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是　　　　
分析
增减性不知，不等式不标准，是突出的两个问题。注意到????=????????，还注意到????≥
角度三
代入法
例11.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是　　　　
解：因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,
即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,
所以|x+2|<5,解得-7所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7,3).
角度四
数形结合
例12.已知f(x)是定义在?
环节四
联合比较大小
提示
????1????2∈????↑+????1>????2?f????1>f????2
?
????1????2∈????↓+????1>????2?f????1?
角度一
奇偶性和增减性已知
例13.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
[答案]　C
角度一
奇偶性和增减性已知
微练.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且有f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是(　　)
A.f(-1)C.f(3)>f(2) D.f(2)>f(0)
解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1).
又f(3)>f(1),所以f(3)>f(-1).
而B,C,D项中的各式大小关系不确定.
答案:A
角度二
奇偶性和增减性隐含
例14.定义在R上的奇函数f（x），且对任意实数a,b，????+
角度三
数形结合
例15. f（x）在
课堂小结
1．核心要点
联合性质：求值、解不等式、比较大小
2．数学素养
体会数学抽象的过程,感受直观想象在解决问题中的应用,培养运算能力以及逻辑推理能力
谢谢观看