2020-2021学年湖南省岳阳市岳阳县八年级（下）期末数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省岳阳市岳阳县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．直线y＝x﹣1的图象经过（　　）
A．第二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．五边形的内角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
6．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
7．一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（　　）
A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm
8．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．7
9．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为（　　）
A． B．3 C．1 D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．已知点P（﹣1，1）关于x轴的对称点Q的坐标为 　 　．
12．将直线y＝3x向上平移3个单位，得到直线 　 　．
13．某班50位同学中，1月份出生的频率是0.30，这个班1月份出生的同学有 　 　人．
14．若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k＝　 　．
15．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的边长为 　 　cm．
16．已知△ABC的三边长分别为1，，2，则△ABC是 　 　三角形．
17．已知一次函数y＝（1﹣m）x+1，当m　 　时，y随x的增大而增大．
18．若点M（a﹣2，2a+3）是y轴上的点，则a的值为 　 　．
19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　 　．
三、解答题：（共60分）
21．已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝1时，求y的值．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD．
23．某校举行以“建党一百周年”为主题的图片制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表．
分数段 频数 频率
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 m 0.45
80≤x＜90 60 n
90≤x＜100 20 0.1
请根据图表提供的信息，解答下列问题．
（1）求表中m和n所表示的数；
（2）请在图中补全频数分别直方图；
（3）若比赛成绩不低于80分可以获奖，则获奖率为多少？
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
26．我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 7 11 12
y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？
27．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图2，求证：BE⊥DQ；
②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：A．
2．直线y＝x﹣1的图象经过（　　）
A．第二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限
解：直线y＝x﹣1与y轴交于（0，﹣1）点，
且k＝1＞0，y随x的增大而增大，
∴直线y＝x﹣1的图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：点P（﹣1，﹣2），由横纵坐标均为负数，则此点在第三象限．
故选：C．
4．五边形的内角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．
5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选：D．
6．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB
∴EH＝BD，
同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
7．一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（　　）
A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm
解：如图，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，
∵原三角形的周长为36cm，
则新三角形的周长为＝18（cm）．
故选：C．
8．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．7
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝5．
故选：B．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
解：当点P由点A向点D运动，即0＜x≤4时，y的值为0；
当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；
当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；
当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．
故选：B．
10．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为（　　）
A． B．3 C．1 D．
解：∵AB＝3，AD＝4，
∴DC＝3，
∴AC＝＝5，
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C＝DC＝3，DE＝D′E，
设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC﹣CD′＝2，AE＝4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2＝AE2，
22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．已知点P（﹣1，1）关于x轴的对称点Q的坐标为 　（﹣1，﹣1）　．
解：点P（﹣1，1）关于x轴的对称点Q的坐标为：（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
12．将直线y＝3x向上平移3个单位，得到直线 　y＝3x+3　．
解：将直线y＝3x向上平移3个单位，得到直线：y＝3x+3．
故答案为y＝3x+3．
13．某班50位同学中，1月份出生的频率是0.30，这个班1月份出生的同学有 　15　人．
解：50×0.30＝15（人），
故答案为：15．
14．若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k＝　2　．
解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），
∴2＝k×1，即k＝2．
故答案为：2．
15．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的边长为 　5　cm．
解：菱形ABCD的面积＝AC?BD，
∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，
∴另一条对角线BD的长＝8cm；
边长是：＝5cm．
故答案为：5．
16．已知△ABC的三边长分别为1，，2，则△ABC是 　直角　三角形．
解：∵12+（）2＝22，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
17．已知一次函数y＝（1﹣m）x+1，当m　＜1　时，y随x的增大而增大．
解：当1﹣m＞0时，y随x的增大而增大，
所以m＜1．
故答案为：＜1．
18．若点M（a﹣2，2a+3）是y轴上的点，则a的值为 　2　．
解：∵点M（a﹣2，2a+3）是y轴上的点，
∴a﹣2＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 　25　．
解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠EAN，
∵BN⊥AN，
∴∠ANB＝∠ANE＝90°，
在△ABN和△AEN中，
，
∴△ABN≌△AEN（ASA），
∴AE＝AB＝6，BN＝NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25，
故答案为：25．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　　．
解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB?CM＝BC?AC，
∴CM的最小值＝＝，
∴线段DE的最小值为；
故答案为：．
三、解答题：（共60分）
21．已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝1时，求y的值．
解：（1）设这个一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1，
∴，
解得：，
故这个一次函数的解析式为y＝﹣5x+29；
（2）把x＝1代入y＝﹣5x+29中得：y＝﹣5+29＝24．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD＝90°，
∴∠EFB+∠DFC＝90°，∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EFB＝∠DFC，
∵BE＝CF，
∴△BEF≌△CFD，
∴BF＝CD．
23．某校举行以“建党一百周年”为主题的图片制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表．
分数段 频数 频率
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 m 0.45
80≤x＜90 60 n
90≤x＜100 20 0.1
请根据图表提供的信息，解答下列问题．
（1）求表中m和n所表示的数；
（2）请在图中补全频数分别直方图；
（3）若比赛成绩不低于80分可以获奖，则获奖率为多少？
解：（1）样本容量＝＝200，
所以m＝200×0.45＝90，
n＝＝0.3；
（2）如图：
（3）读图表可得比赛成绩不低于80分的人数为60+20＝80，
故获奖率为×100%＝40%．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，即EF∥BC．
又∵BF∥CE，
∴四边形ECBF是平行四边形．
（2）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，E为AB的中点，
∴CB＝AB，CE＝AB．
∴CB＝CE．
又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形．
25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC＝×180°＝60°，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB＝2cm，
∴OA＝AB＝1cm，
∴OB＝＝，
∴AC＝2OA＝2cm，BD＝2OB＝2cm；
（2）S菱形ABCD＝AC?BD＝×2×2＝2（cm2）．
26．我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 7 11 12
y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？
解：（1）观察图象可知：x＝7，y＝2.75这组数据错误．
（2）设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75，x＝2，y＝1代入可得，
解得，
∴y＝x+，
当x＝16时，y＝4.5，
答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．
27．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图2，求证：BE⊥DQ；
②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF＝∠EDF，又∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90°，
∴BE⊥DQ；
②∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝30°，又CP＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，又∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，
∴∠EPD＝180°﹣∠CPD﹣∠CPB＝180°﹣75°﹣60＝45°，
同理：∠EDP＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．