高中数学人教A版( 2019 )选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用章末质量检测(Word含答案解析)

章末质量检测(二)　一元函数的导数及其应用
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设函数f(x)＝x，则
＝(　　)
A．0
B．1
C．2
D．－1
2．已知函数f(x)＝，则f′(4)＝(　　)
A．－
B.
C．1
D．3
3．一物体做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝－t2＋5t，则该物体在t＝2
s时的瞬时速度为(　　)
A．3
B．7
C．6
D．1
4．函数y＝x3－3x＋4有(　　)
A．极大值6，极小值2
B．极大值2，极小值6
C．极小值－1，极大值2
D．极小值2，极大值8
5．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则不等式组解集为(　　)
A．(0,1)
B．(1,3)
C．(1,2)
D．(1,4)
6．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2,2)
B．[－2,2]
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
7．函数f(x)＝＋sin
x的图象的大致形状是(　　)
8．已知函数f(x)＝e2x＋1－e－2x－mx在R上为增函数，则m的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，则(　　)
A．函数y＝f(x)一定存在最值
B．?x0∈R，f(x0)＝0
C．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
D．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递增
10．已知f(x)是可导的函数，且f′(x)A．f(1)B．f(1)>ef(0)，f(1)>e2f(－1)
C．f(1)D．f(1)>ef(0)，f(2020)>e2020f(0)
11．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的可能取值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
12．对于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)在x＝e处取得极大值
B．f(x)有两个不同的零点
C．f(2)D．若f(x)1
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．曲线y＝x2＋ln
x在点(1,1)处的切线方程为________．
14．已知函数f(x)＝bx－ln
x，其中b∈R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．
15．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1>0，f(1)＝5，则不等式f(x)≤＋4的解集为________．
16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)若不等式xf′(x)－af(x)≤2对一切x∈R恒成立，则a＝________，的取值范围为________．(第一空2分，第二空3分)．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a(a∈R)
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在[－2,3]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－－aln
x
(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝(a∈R)
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln
x＋ax2＋(a＋2)x，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<0时，若关于x的不等式f(x)≤－＋b－1恒成立，求实数b的取值范围．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln
x)＋a.
(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间上无零点，求a的取值范围．
章末质量检测(二)　一元函数的导数及其应用
1．解析：因为f(x)＝x，
所以
＝
＝
＝1.
故选B.
答案：B
2．解析：∵f(x)＝＝x，
∴f′(x)＝x＝，
∴f′(4)＝＝，
故选B.
答案：B
3．解析：s′＝－2t＋5，当t＝2时，s′＝1.
故选D.
答案：D
4．解析：令y′＝3x2－3＝0，解得x＝±1，则y，y′随x的变化如下表．
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
?
6
?
2
所以，当x＝－1时，函数有极大值为6；当x＝1时，函数有极小值为2.
故选A.
答案：A
5．解析：由导函数与原函数单调性关系知图中实线是f′(x)的图象，虚线是f(x)的图象，不等式组解集是{x|1故选B.
答案：B
6．解析：因y′＝3(1＋x)(1－x)，故函数在x＝－1处取极小值－2，在x＝1取极大值2，故结合函数的图象可知当－2答案：A
7．解析：因为f(x)＝＋sin
x，
所以f′(x)＝x2＋cos
x，
令g(x)＝x2＋cos
x，则g′(x)＝x－sin
x
当x≥0时，由y＝x与y＝sin
x的图象知，
g′(x)＝x－sin
x≥0，(也可继续求导确定)
所以g(x)＝x2＋cos
x在[0，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(0)＝1，
即f′(x)＝x2＋cos
x≥1>0在[0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)＝＋sin
x在[0，＋∞)上单调递增，
故选A.
答案：A
8．解析：因为函数f(x)＝e2x＋1－e－2x－mx在R上为增函数，所以f′(x)＝2e2x＋1＋2e－2x－m≥0对x∈R恒成立，即m≤2e2x＋1＋2e－2x对x∈R恒成立，又因为2e2x＋1＋2e－2x≥2＝4，所以m≤4.故选A.
答案：A
9．解析：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，
所以函数无最值，故A不正确；
又函数图象是连续不断的，所以函数图象与x轴有交点，所以?x0∈R，使f(x0)＝0，所以B正确；
因为x0是f(x)的极值点，且函数f(x)是可导函数，所以f′(x0)＝0，故C正确；
因为x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上先递增，再递减，故D不正确．
故选BC.
答案：BC
10．解析：设g(x)＝，
所以g′(x)＝
因为f′(x)所以g′(x)<0，
所以g(x)在R上是减函数，
所以g(1)即f(1)答案：AC
11．解析：由题意得f′(x)＝3x2－a，
因为函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，
所以在[1，＋∞)上，f′(x)≥0恒成立，
即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，
因为当x∈[1，＋∞)时，二次函数g(x)＝3x2的最小值为g(1)＝3所以a≤3.
故选ABC.
答案：ABC
12．解析：函数的导数f′(x)＝，(x>0)，
令f′(x)＝0得x＝e，则当00，函数为增函数，
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，
则当x＝e时，函数取得极大值，极大值为f(e)＝，故A正确，
当x→0，f(x)→－∞，x→＋∞，f(x)→0，
则f(x)的图象如图，由f(x)＝0得ln
x＝0得x＝1，即函数f(x)只有一个零点，故B错误，
由图象知f(2)＝f(4)，f(3)>f(π)>f(4)，故f(2)若f(x)则k>＋，
设h(x)＝＋，(x>0)，则h′(x)＝－当00，当x>1时，h′(x)<0，即当x＝1时，函数h(x)取得极大值同时也是最大值h(1)＝1，
∴k>1成立，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
13．解析：y′＝2x＋，在点(1,1)处的切线斜率为3，所以切线方程为3x－y－2＝0.
答案：3x－y－2＝0
14．解析：设切点为(m，n)，则n＝bm－ln
m，又f′(x)＝b－，则k＝b－，又切线方程为：y＝kx，则n＝km，则bm－ln
m＝(b－)m，
得ln
m＝1，得m＝e，故k－b＝－＝－.
答案：－
15．解析：由x2f′(x)＋1>0，
设g(x)＝f(x)－－4，则g′(x)＝f′(x)＋＝>0.
故函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，故g(x)≤0的解集为(0,1]，
即f(x)≤＋4的解集为(0,1]．
答案：(0,1]
16．解析：因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx，
所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
因为不等式xf′(x)－af(x)≤2对一切x∈R恒成立，
所以(3a－a2)x3＋(2b－ab)x2＋(c－ac)x－2≤0对一切x∈R恒成立，
所以3a－a2＝0，
解得a＝3或a＝0(舍去)，
所以bx2＋2cx＋2≥0对一切x∈R恒成立，
当b＝0，c＝0时，2≥0，成立，
当b＝0，c≠0时，x≥－或x≤－，不成立，
当b≠0时，则，解得b≥，
当b＝0，c＝0时，＝＝0，
当b≠0时，＝≥＝≥－，
综上：的取值范围为.
答案：3　
17．解析：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－.因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
18．解析：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)
f′(x)>0?02
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
则极大值为f(2)＝4＋a，极小值为f(0)＝a.
(2)由(1)知f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．
又f(0)＝a，f(3)＝a
所以最小值为a，且a＝2
最大值在x＝－2或x＝2处取，f(－2)＝20＋a＝22，
f(2)＝4＋a＝6
所以f(x)在[－2,3]上的最大值为22.
19．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝0时，
f(x)＝，f′(x)＝，
令f(x)>0得x>1，令f′(x)<0得，所以f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．
(2)f′(x)＝
①当a≤e时，若x∈(1，＋∞)，则ex－a≥ex－e>0，
此时f′(x)＝>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增
所以函数f(x)在x＝1处不可能取得极大值，a≤e不合题意．
②当a>e时，ln
a>1
x
(0,1)
1
(1，ln
a)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
函数f(x)在x＝1处取得极大值．
综上可知，a的取值范围是(e，＋∞)．
20．解析：(1)对f(x)求导得
f′(x)＝＝
因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.
当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.
(2)由(1)得，f′(x)＝，
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a
由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.
当x当x10，故f(x)为增函数；
当x>x2时，g(x)<0，故f(x)为减函数；
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－
故a的取值范围为.
21．解析：f(x)＝ln
x＋ax2＋(a＋2)x，
f′(x)＝＋2ax＋a＋2＝(x>0)．
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数；
当a<0时，f′(x)＝＝.
当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数；
当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)可得，当a<0时，
f(x)max＝f＝ln＋－＝ln－－1.
由不等式f(x)≤－＋b－1恒成立，得ln－－a≤－＋b－1恒成立，
即b≥ln＋在a<0时恒成立．
令t＝－，g(t)＝ln
t－t(t>0)，则g′(t)＝－1＝.
当t∈(0,1)时，g′(t)>0，g(t)单调递增；
当t∈(1，＋∞)时，g′(t)<0，g(t)单调递减．
所以g(t)的最大值为g(1)＝－1.得b≥－1，所以实数b的取值范围是[－1，＋∞)．
22．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln
x，定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＝1－，
令f′(x)>0，得x>2，令f′(x)<0，得0∴f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)∵函数f(x)在区间上无零点，
∴在区间上，f(x)>0恒成立或f(x)<0恒成立，
f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln
x)＋a＝(a－2)(1－x)－2ln
x，
f＝(2－a)·－2＋a＝(a＋4ln
2－2)，
①当f≥0时，a≥2－4ln
2，
在区间上，
f(x)＝(a－2)(1－x)－2ln
x≥(－4ln
2)(1－x)－2ln
x.
记g(x)＝(－4ln
2)(1－x)－2ln
x，
g＝(－4ln
2)－2ln＝0
则g′(x)＝4ln
2－，
在区间上，g′(x)＝4ln
2－<4ln
2－4<0，
∴在区间上，g(x)单调递减，∴g(x)>g＝0，
即(－4ln
2)(1－x)－2ln
x>0，
∴f(x)≥(－4ln
2)(1－x)－2ln
x>0，
即f(x)>0在区间上恒成立，满足题意；
②当f<0时，a<－4ln
2＋2,02＝<，
f(ea－2)＝(2－a)ea－2－2(1＋ln
ea－2)＋a＝(2－a)(ea－2＋1)，
∵2－a>4ln
2>0，ea－2＋1>0，
∴f(ea－2)＝(2－a)(ea－2＋1)>0，
∴f(x)在上有零点，即函数f(x)在区间上有零点，不符合题意．
综上所述，a≥2－4ln
2.