第15章 轴对称图形与等腰三角形 测试卷（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 第15章 轴对称图形与等腰三角形 测试卷（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 278.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-04 08:07:35 | ||
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文档简介
第15章 测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1.下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )
A B C D
2．等腰三角形的两边a，b满足|a－7|＋＝0，则它的周长是( )
A．17 B．13或17 C．13 D．19
3．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为( )
A．50° B．65° C．80° D．50°或80°
4．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A．AE＝EC B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠A D．∠EBC＝∠ABE
(第4题) (第5题) (第7题) (第8题) (第9题) (第10题)
5．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰长为6，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP＋CP的最小值为( )
A．10 B．6 C．4 D．2
6．点P(2，3)关于直线x＝m的对称点为(－4，3)，关于直线y＝n的对称点为(2，－5)，则m－n等于( )
A．2 B．－2 C．0 D．3
7．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，CD，CB的延长线交AD于点E.下列结论不一定正确的是( )
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
9．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周长等于AB＋AC.其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每题3分，共18分)
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
(第11题) (第12题)
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是________°.
13．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为________度．
(第13题) (第14题)
14．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝80°，则∠BnBn＋1Bn＋2的度数为____________°.(用含n的代数式表示，n≥1，n为整数)
15．在平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，2)，若点M为x轴上一点，且MA＋MB最小，则点M的坐标为______________．
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为________．
三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)
17．如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”应修建在什么位置？请在图上标出它的位置．(尺规作图，保留痕迹)
(第17题)
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.
(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
(2)若△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，求DC的长．
(第18题)
19．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE，交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.
(1) 求证：△ABC是等腰三角形；
(2) 若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
(第19题)
20．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
(第20题)
(1)∠1＝∠2；
(2)AD＝DE.
21．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD.
(1) 如图①，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；
(2) 如图②，作∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN.
①补全图②；②若BN＝DN，求证：MB＝MN.
(第21题)
22．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC＋CD.
(1)如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
(2)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
(第22题)
答案
一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.D 8.D 9.C 10.C
二、11.4 12.15 13. 14.
15. 作点A关于x轴的对称点A′，则A′(－1，－1)．连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小．易求得过点A′，B的直线的表达式为y＝x－，则点M的坐标为.
16．45°或90°或135°
三、17.解：如图所示．作∠NOM的平分线和线段AB的中垂线，它们的交点为C，则点C就是英语角的位置．
(第17题)
18．解：(1)∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD垂直平分BE.∵EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE.
∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝∠AED＝35°.
(2)∵△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，∴AB＋BE＋EC＝7 cm，即2DE＋2EC＝7 cm，∴DC＝DE＋EC＝3.5 cm.
19．(1)证明：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE.
∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：∵F是AC的中点，∴AF＝CF.
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG.∴AE＝GC＝8.
∵GC＝2BG，∴BG＝4，∴BC＝12.又∵AC＝AB＝10，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.
20．证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠B＝60°.
又∵∠ADC＝∠2＋∠ADE＝∠1＋∠B，∴∠1＝∠2.
(2)在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD.
∵∠B＝60°.∴△BMD是等边三角形．
∴∠BMD＝60°.∴∠AMD＝120°.
∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，△ABC是等边三角形，
∴∠ECF＝60°.∴∠DCE＝120°.∴∠AMD＝∠DCE.
∵BA－BM＝BC－BD，∴MA＝CD.
在△AMD和△DCE中，∠1＝∠2，AM＝DC，∠AMD＝∠DCE，
∴△AMD≌△DCE(ASA)．∴AD＝DE.
21．(1)解：∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC.∵E为AC的中点，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，
∵AB＝AC，∴AD＝AB，∵∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝160°，
∴∠ADB＝∠ABD＝10°，∴∠BDF＝∠ADE－∠ADB＝20°.
(2)①解：补全图形，如图所示．
(第21题)
②证明：如图，连接AN.由CM平分∠ACB，
可设∠ACM＝∠BCM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α.
在等边三角形ACD中，
∵E为AC的中点，
∴DN⊥AC，
∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠NCA＝α，∴∠DAN＝60°＋α.
在△ABN和△ADN中，
∴△ABN≌△ADN(SSS)，∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°＋α，
∴∠BAC＝∠BAN＋∠NAC＝60°＋2α.
在△ABC中，∵∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∴60°＋2α＋2α＋2α＝180°，∴α＝20°，
∴∠NBC＝∠ABC－∠ABN＝2×20°－30°＝10°，
∴∠MNB＝∠NBC＋∠NCB＝10°＋20°＝30°，
∴∠MNB＝∠MBN，∴MB＝MN.
(第22题)
22．解：(1)猜想：AB＝AC＋CD.
(2)猜想：AB＋AC＝CD.证明：如图，在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED.
∵AD平分∠FAC，∴∠EAD＝∠CAD.
在△EAD与△CAD中，
AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△EAD≌△CAD(SAS)．∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD.
∴∠FED＝∠ACB.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B.
又∵∠FED＝∠B＋∠EDB，∴∠EDB＝∠B.
∴EB＝ED.∴EA＋AB＝EB＝ED＝CD.∴AC＋AB＝CD.
一、选择题(每题3分，共30分)
1.下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )
A B C D
2．等腰三角形的两边a，b满足|a－7|＋＝0，则它的周长是( )
A．17 B．13或17 C．13 D．19
3．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为( )
A．50° B．65° C．80° D．50°或80°
4．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A．AE＝EC B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠A D．∠EBC＝∠ABE
(第4题) (第5题) (第7题) (第8题) (第9题) (第10题)
5．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰长为6，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP＋CP的最小值为( )
A．10 B．6 C．4 D．2
6．点P(2，3)关于直线x＝m的对称点为(－4，3)，关于直线y＝n的对称点为(2，－5)，则m－n等于( )
A．2 B．－2 C．0 D．3
7．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，CD，CB的延长线交AD于点E.下列结论不一定正确的是( )
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
9．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周长等于AB＋AC.其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每题3分，共18分)
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
(第11题) (第12题)
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是________°.
13．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为________度．
(第13题) (第14题)
14．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝80°，则∠BnBn＋1Bn＋2的度数为____________°.(用含n的代数式表示，n≥1，n为整数)
15．在平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，2)，若点M为x轴上一点，且MA＋MB最小，则点M的坐标为______________．
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为________．
三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)
17．如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”应修建在什么位置？请在图上标出它的位置．(尺规作图，保留痕迹)
(第17题)
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.
(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
(2)若△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，求DC的长．
(第18题)
19．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE，交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.
(1) 求证：△ABC是等腰三角形；
(2) 若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
(第19题)
20．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
(第20题)
(1)∠1＝∠2；
(2)AD＝DE.
21．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD.
(1) 如图①，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；
(2) 如图②，作∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN.
①补全图②；②若BN＝DN，求证：MB＝MN.
(第21题)
22．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC＋CD.
(1)如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
(2)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
(第22题)
答案
一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.D 8.D 9.C 10.C
二、11.4 12.15 13. 14.
15. 作点A关于x轴的对称点A′，则A′(－1，－1)．连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小．易求得过点A′，B的直线的表达式为y＝x－，则点M的坐标为.
16．45°或90°或135°
三、17.解：如图所示．作∠NOM的平分线和线段AB的中垂线，它们的交点为C，则点C就是英语角的位置．
(第17题)
18．解：(1)∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD垂直平分BE.∵EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE.
∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝∠AED＝35°.
(2)∵△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，∴AB＋BE＋EC＝7 cm，即2DE＋2EC＝7 cm，∴DC＝DE＋EC＝3.5 cm.
19．(1)证明：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE.
∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：∵F是AC的中点，∴AF＝CF.
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG.∴AE＝GC＝8.
∵GC＝2BG，∴BG＝4，∴BC＝12.又∵AC＝AB＝10，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.
20．证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠B＝60°.
又∵∠ADC＝∠2＋∠ADE＝∠1＋∠B，∴∠1＝∠2.
(2)在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD.
∵∠B＝60°.∴△BMD是等边三角形．
∴∠BMD＝60°.∴∠AMD＝120°.
∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，△ABC是等边三角形，
∴∠ECF＝60°.∴∠DCE＝120°.∴∠AMD＝∠DCE.
∵BA－BM＝BC－BD，∴MA＝CD.
在△AMD和△DCE中，∠1＝∠2，AM＝DC，∠AMD＝∠DCE，
∴△AMD≌△DCE(ASA)．∴AD＝DE.
21．(1)解：∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC.∵E为AC的中点，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，
∵AB＝AC，∴AD＝AB，∵∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝160°，
∴∠ADB＝∠ABD＝10°，∴∠BDF＝∠ADE－∠ADB＝20°.
(2)①解：补全图形，如图所示．
(第21题)
②证明：如图，连接AN.由CM平分∠ACB，
可设∠ACM＝∠BCM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α.
在等边三角形ACD中，
∵E为AC的中点，
∴DN⊥AC，
∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠NCA＝α，∴∠DAN＝60°＋α.
在△ABN和△ADN中，
∴△ABN≌△ADN(SSS)，∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°＋α，
∴∠BAC＝∠BAN＋∠NAC＝60°＋2α.
在△ABC中，∵∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∴60°＋2α＋2α＋2α＝180°，∴α＝20°，
∴∠NBC＝∠ABC－∠ABN＝2×20°－30°＝10°，
∴∠MNB＝∠NBC＋∠NCB＝10°＋20°＝30°，
∴∠MNB＝∠MBN，∴MB＝MN.
(第22题)
22．解：(1)猜想：AB＝AC＋CD.
(2)猜想：AB＋AC＝CD.证明：如图，在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED.
∵AD平分∠FAC，∴∠EAD＝∠CAD.
在△EAD与△CAD中，
AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△EAD≌△CAD(SAS)．∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD.
∴∠FED＝∠ACB.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B.
又∵∠FED＝∠B＋∠EDB，∴∠EDB＝∠B.
∴EB＝ED.∴EA＋AB＝EB＝ED＝CD.∴AC＋AB＝CD.