人教A版(2019)选择性必修第三册第七章 随机变量及其分布 章末质量检测 (Word含解析)

章末质量检测(二)　随机变量及其分布
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n.如果P(ξ<4)＝0.3，那么(　　)
A．n＝3
B．n＝4
C．n＝10
D．n不能确定
2．已知离散型随机变量ξ的分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则均值E(ξ)＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．1
B．0.3
C．2＋3m
D．2.4
3．已知η的分布列为
η
－1
0
1
P
设ξ＝3η－2，则D(ξ)的值为(　　)
A．5
B．
C．
D．－3
4．若ξ～B，则P(ξ≥2)等于(　　)
A．
B．
C．
D．
5．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)＝(　　)
A．0.1
B．0.2
C．0.6
D．0.8
6．由1，2组成的有重复数字的三位数中，若用A表示事件“十位数字为1”，用B表示事件“百位数字为1”，则P(A|B)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙两人参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则X＝2的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
8．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号为1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局，若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法不正确的是(　　)
A.P(B|A)B．P(B|A)＝是可能的
C．0D．P(A|A)＝0
10．若随机变量η的分布列如下：
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(ηA．1
B．1.5
C．2
D．2.5
11．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
12．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的(　　)
A．游客至多游览一个景点的概率
B．P(X＝2)＝
C．P(X＝4)＝
D．E(X)＝
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m·，k＝1，2，3，则m的值为________．
14．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，向量a＝(1，2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角为锐角的概率是，则μ＝________．
15．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________．
16．一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种________粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg
2≈0.301
0)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加义务劳动．
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(A)和P(A|B).
18．(本小题满分12分)
在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．
19.(本小题满分12分)
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的卡片各2张，从袋中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列．
20．(本小题满分12分)
某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务，该市教育部门随机抽取了全市200位高中学生参加社区服务时间的数据，按时间段[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．
(1)求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
(2)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生，记X为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数，试求随机变量X的分布列与期望．
21．(本小题满分12分)
为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取100袋作为样本，称其重量为
重量
kg
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
合
计
包数
1
1
3
5
6
19
34
18
3
4
2
1
2
1
100
经计算：样本的平均值μ＝10.10，标准差σ＝0.21.
(1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为X(kg)，并根据以下不等式进行评判，①P(μ－σ7；
②P(μ－2σ5；
③P(μ－3σ3；
若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；满足其中两个，则为乙级；仅满足其中一个，则为丙级；若全不满足，则为丁级．请判断该设备的等级．
(2)将重量小于或等于μ－2σ与重量大于μ＋2σ的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线上随机抽取5袋大米，求其中不合格包装袋数Y的均值E(Y).
22．(本小题满分12分)
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1
000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有金额的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的金额之和为该顾客所获得的奖励金额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的金额为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获得的奖励金额为60元的概率；
②顾客所获得的奖励金额的分布列及数学期望．
(2)商场对奖励总金额的预算是60
000元，并规定袋中的4个球只能由标有金额10元和50元的两种球，或标有金额20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总金额尽可能符合商场的预算，且每位顾客所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个球的金额给出一个合适的设计，并说明理由．
章末质量检测(二)
1．解析：∵ξ是等可能取值，
∴P(ξ＝k)＝(k＝1，2，…，n)，
∴P(ξ<4)＝＝0.3，∴n＝10.故选C.
答案：C
2．解析：m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.故选D.
答案：D
3．解析：E(η)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，D(η)＝×＋×＋×＝，D(ξ)＝D(3η－2)＝32×＝5.故选A.
答案：A
4．解析：P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－C×－C×＝1－－＝.故选C.
答案：C
5．解析：因为ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，所以P(ξ<－2)＝0.5－0.4＝0.1，所以P(ξ>2)＝P(ξ<－2)＝0.1.故选A.
答案：A
6．解析：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(A|B)＝＝.故选C.
答案：C
7．解析：随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝6，n＝3，则P(X＝2)＝＝.故选D.
答案：D
8．解析：由题意知，玩一次游戏甲赢的概率为P＝＝，那么，玩三次游戏，甲赢两次的概率为C×＝.故选C.
答案：C
9．解析：由条件概率公式P(B|A)＝及0答案：ACD
10．解析：由分布列知，P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，P(η<2)＝0.8，故1答案：BC
11．解析：因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
12．解析：记该游客游览i个景点为事件Ai，i＝0，1，
则P(A0)＝＝，
P(A1)＝＋C··＝，
所以游客至多游览一个景点的概率为
P(A0)＋P(A1)＝＋＝，故A正确；
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4；
P(X＝0)＝P(A0)＝，
P(X＝1)＝P(A1)＝，
P(X＝2)＝×C××＋×C××＝，故B正确；
P(X＝3)＝×C××＋×C×＝，
P(X＝4)＝×＝，故C错误；
数学期望为：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确，故选ABD.
答案：ABD
13．解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，
即m＝1，所以m＝.
答案：
14．解析：由向量a＝(1，2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角是锐角，得a·b>0，即ξ－2>0，解得ξ>2，则P(ξ>2)＝.根据正态分布密度曲线的对称性，可知μ＝2.
答案：2
15．解析：X～B(100，0.02)，所以D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案：1.96
16．解析：记事件A为“种一粒种子，发芽”，
则P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2.
因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，
则P()＝C0.80(1－0.8)n＝0.2n，
所以P(B)＝1－P()＝1－0.2n.
根据题意，得P(B)>98%，
即0.2n<0.02.
两边同时取以10为底的对数，得
n
lg
0.20.02，
即n(lg
2－1)2－2，
所以n>≈≈2.43.
因为n∈N
，所以n的最小正整数值为3.
答案：3
17．解析：(1)从6人中任选3人，选法共有C＝20(种)，
其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为＝.
故男生甲或女生乙被选中的概率为1－＝.
(2)由题知，P(A)＝＝.又P(B)＝P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝.
18．解析：用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，
则由题意知ξ～B(10，0.8)，η＝3ξ＋2.
因为E(ξ)＝10×0.8＝8，D(ξ)＝10×0.8×(1－0.8)＝1.6，
所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26(分)，
D(η)＝D(3ξ＋2)＝32×D(ξ)＝9×1.6＝14.4.
所以小李在比赛中得分的数学期望为26分，方差为14.4.
19．解析：(1)记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)随机变量X的可能取值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
2
3
4
5
P
20.解析：(1)根据题意及题图得，参加社区服务时间在[90，95)内的学生人数为200×0.06×5＝60，
参加社区服务时间在[95，100]内的学生人数为200×0.02×5＝20，
∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80.
∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率P＝＝.
(2)由(1)可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为.
由题意得，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝C＝；
P(X＝1)＝C＝；
P(X＝2)＝C＝；
P(X＝3)＝C＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∵X～B，
∴E(X)＝3×＝.
21．解析：(1)由题意得P(μ－σ0.682
7，
P(μ－2σ5，
P(μ－3σ3，所以该生产设备为丙级．
(2)由表知，不合格的包装共有6袋，则从设备的生产线上随机抽一袋不合格的概率P＝＝，
由题意知Y服从二项分布，
即Y～B，
所以E(Y)＝5×＝0.3.
22．解析：(1)①设顾客所获得的奖励金额为X.
依题意，得P(X＝60)＝＝，
即顾客所获得的奖励金额为60元的概率为.
②依题意，得X的所有可能取值为20，60.
P(X＝20)＝＝，P(X＝60)＝，
即X的分布列为
X
20
60
P
所以E(X)＝20×＋60×＝40.
(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励金额为60元，所以，先寻找期望为60元的可能方案．
对于金额由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是金额之和的最大值，所以数学期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是金额之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.
对于金额由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获得的奖励金额为X1，则X1的分布列为
X1
20
60
100
P
X1的数学期望E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，
X1的方差D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获得的奖励金额为X2，则X2的分布列为
X2
40
60
80
P
X2的数学期望E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
由于两种方案的奖励金额的期望都符合要求，但方案2的奖励金额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2，
即袋中的4个球，其中2个标金额20元，2个标金额40元．