22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（第1课时） 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
22.1.4二次函数
的图像和性质---第1课时
人教版
九年级上
教学目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x?h)2+k(a≠0).(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴.（重点）
回顾旧知
1、说一说二次函数y=a(x?h)2+k
（a
≠
0）的性质：
y=a(x?h)2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
最值
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
回顾旧知
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
?
h
)2
y
=
a(
x
?h
)2
+
k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：上加下减；左加右减.
2、说一说二次函数y=ax2
与y=a(x-h)2+k的关系:
回顾旧知
顶点坐标
对称轴
最值
y=?3x2
y=?3x2+5
y=?3(x-2)2
y=?3(x-2)2+5
y=?3x2+2x
y=x2+4x+6
(0，0)
y轴
0
(0，5)
y轴
5
(2，0)
直线x=2
0
(2，5)
直线x=2
5
?
?
?
2、填空:
?
?
?
本节课我们一起来探讨一下。
合作探究
探究一：二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a
≠
0)的图象和性质
思考1：我们已经知道二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质，能否
利用这些知识来讨论二次函数
的图像和性质？
问题①
怎样将
化成y=a(x?h)2+k的形式？
“提”：提出二次项系数；
“配”：括号内配成完全平方；
“化”：化成顶点式.
合作探究
问题③
你能说出
图像的性质吗？
开口向上，对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3），最小值是3.
问题②
二次函数
的图像可以看作是由
的图像怎样平移得到的？
当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
合作探究
5
10
x
y
5
10
问题④
如何直接画二次函数
的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
然后描点画图，
得到图象如右图.
O
小试牛刀
练一练：将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式
y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．
（1）y=x2-4x+1；
（2）y=3x2-6x+9．
解：(1)y=x2?4x+1=(x?2)2
-3，
顶点坐标为(2，-3)；
(2)y=3x2?6x+9=3(x?1)2+6，顶点坐标为(1，6).
合作探究
思考2：如何用配方法探究一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质？
y=ax?+bx+c
合作探究
抛物线y=ax2+bx+c
的顶点坐标是：
对称轴是：直线
y=ax?+bx+c
合作探究
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0，开口向上，最小值为
当x<
时，y随x的增大而减小；当x>
时，y随x的增大而增大.
如果a<0，开口向下，最大值为
当x<
时，y随x的增大而增大；当x>
时，y随x的增大而减小.
这种做法叫做公式法。
典例精析
x
···
?4
?3
?2
?1
0
1
2
···
y
···
···
?15
?5
1
3
1
?5
?15
例1：画出函数y=-2x2-4x+1图像，并说明这个函数有哪些性质？
解：
y=-2x2-4x+1=
-2（x+1)2+3
开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标（-1,3）
典例精析
2
x
y
-2
O
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.
y=
-2（x+1)2+3
你能用公式法来说明该函数的这些性质吗？试一试
趁热打铁
练一练：已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a(x﹣h)2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小．
解：（1）y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1.
（2）二次函数的图象的对称轴是x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）.
合作探究
探究二：二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a
≠
0)表达式中a、b、c的作用
x
y
O
如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
＞
＜
＜
x=0时，y=c.
＞0
=0
=
x=0时，y=c.
＜
＜0
＞
x=0时，y=c.
＞
=
还有其他情况吗？小组合作交流！
合作探究
归纳总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0
开口_____________________
a＜0
开口_____________________
b=0
对称轴为_____轴
a、b同号
对称轴在y轴的____侧
a、b异号
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过原点
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
左同右异
趁热打铁
O
y
x
–1
–2
3
练一练：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=
–1和x=3时，函数值相等；
（3）
4a+b=0；
（4）当y=
–2时，x的值只能取0；
（5）
abc
＜0
（6）
a+b+c＜0
其中正确的是
.
直线x=1
（2）
（6）
综合演练
1、函数y=x2-6x+5化成y=a（x-h）2+k的形式是（
）
A、
y=（x-3）2+14
B、
y=（x+3）2+14
C、
y=（x-3）2-4
D、
y=（x-3）2+4
C
2、某抛物线的顶点坐标为（1，-2），则该抛物线的表达式是（
）
A、
y=3x2-6x-15
B、
y=3x2-6x+1
C、
y=3x2+6x+1
D、
y=3x2+6x+5
B
综合演练
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
?1
0
1
2
3
y
5
1
?1
?1
1
A.y轴
B.直线x=
C.
直线x=2
D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为(
)
D
知识点拨：根据抛物线的对称性解决。
4、若A（-4，a）、B（-1，b）、C（2，c）为二次函数y=x2+2x-3的图像上的三点，则a，b，c的大小关系是（
）
A、a＜b＜c
B、
b＜a＜c
C、c＜b＜a
D
、b＜a=c
知识点拨：根据抛物线的增减性解决。
D
综合演练
5、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
知识点拨：由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
综合演练
6.已知二次函数y=?x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，求实数b的取值范围.
解：
∵二次项系数
-1＜0，
∴抛物线的开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
根据题意可知x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴该抛物线的对称轴
在直线x=1左侧。
∴b
≤1
综合演练
7.已知抛物线y=2x2-8x+13.
（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大;
（3）将该抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，请直接写出新抛物线的表达式.
解：∵y=2x2?8x+13=2(x2-4x+4?4)+13=2(x?2)2+5，
∴抛物线开口向上，顶点为(2，5)，对称轴为直线x=2.
（1）当x=2时，y有最小值，最小值为5；
（2）当x＞2时，y随x的增大而增大；
（3）新抛物线的表达式为y=2(x+1)2+4
综合演练
（4）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2?4x?1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积．
（2）如图，令x=0，则y=?1，
∴C（0，?1）.
∵B（2，?5），
∴A（2，0）.
∴AB=5,OC=1，OA=2
S四边形OABC=
课堂总结
1、如何用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x?h)2+k(a≠0）？
2、a、b、c三个字母系数对二次函数
y＝ax2＋bx＋c的图像起什么作用？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题22.1
P41页：6、7（2）
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php