24.1.2　垂直于弦的直径 同步练习（含答案）

24.1　圆的有关性质
24.1.2　垂直于弦的直径
一、选择题
1.把一个圆形纸片至少对折几次,才可以确定圆心 ( )
A.1次 B.2次 C.3次 D.无数次
2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折,直径两侧的部分相互重合,这说明 ( )
A.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心
B.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴
C.圆的直径相互平分
D.垂直弦的直径平分弦所对的弧
3.如图,已知OB为☉O的半径,且OB＝10 cm,弦CD⊥OB于点M.若OM∶MB＝4∶1,则弦CD的长为 ( )
A.3 cm B.6 cm C.12 cm D.24 cm
　　　　　　
第3题图　 第4题图 第5题图
4.如图,AB为☉O的弦,C为AB的中点,AB＝8,OC＝3,则☉O的半径为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5.如图,在半径为10的☉O中,弦AB＝16,OC⊥AB于点C,则OC的长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.下列说法正确的是 ( )
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径 D.弦的垂直平分线经过圆心
7.如图,在半径为5 cm的☉O中,圆心O到弦AB的距离为3 cm,则弦AB的长是(　　)
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
　　　　　　
第7题图　 第8题图 第9题图
8.[广州中考]往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB＝48 cm,则水的最大深度为 ( )
A.8 cm B.10 cm
C.16 cm D.20 cm
9.如图,☉O的半径为5,弦AB＝8,P是弦AB上的一个动点(不与点A,B重合),下列不符合条件的OP的值是 ( )
A.4 B.3 C.3.5 D.2.5
10.学习了垂径定理后,数学老师让学生动手折一个半径为6、圆弧恰好经过圆心的图形,则可求出折痕的长为 ( )
A.63 B.43 C.23 D.2
　　　　　　
第10题图　 第11题图 第12题图
11.《九章算术》是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,ED=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.”则CD=(　　)
A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸
12.如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于点D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于点F.若AC＝12,则OF的长为 ( )
A.8 B.7 C.6 D.4
13.如图，CD是⊙O的直径，AB是一条不过圆心的弦，E是AB的中点，则下列结论不正确的是(　　)
A.CE⊥BE B. AC＝BC C. AD＝BD D.∠D＝∠BEC
　　　　　　　　　
第13题图　 第14题图 第15题图 第17题图
14.(2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是AB)的中点，点D是AB的中点，且CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为(　　)
A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m
15.(2020·广州)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度为(　　)
A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.20 cm
16.已知☉O的半径为15,弦AB∥CD,AB=24,CD=18,则AB,CD之间的距离为(　　)
A.17 B.7
C.21或3 D.7或17
17.(2019·梧州)如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是(　　)
A.2 B.2 C.2 D.4
二、填空题
18.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(－2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是　 　.?
　　　　　　
第18题图　 第19题图 第20题图
19.如图,AB为☉O的直径,AB＝4,C为OA的中点,则过点C的最短弦长为　 　.?
20.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD= 　.?
21.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA＝100 cm,水面宽AB＝120 cm,某天下雨后,水管水面上升了20 cm,则此时排水管水面宽CD等于　 　m.?
　　　
第21题图　 第23题图
22.已知☉O的半径为10,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB＝16,CD＝12,则弦AB和CD之间的距离是　 　.?
23.如图,☉O的直径CD＝20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M.若OM∶OC＝3∶5,则弦AB的长为　 　.?
三、解答题
24.把一个球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知CD＝EF＝24 cm,求这个球的直径.
25.某隧道的截面由如图所示的图形构成,图形下面是长方形ABCD,上面是半圆形,其中AB＝10米,BC＝2.5米,隧道设双向通车道,中间有宽度为2米的隔离墩.一辆满载家具的卡车,宽度为3米,高度为4.9米,请计算说明这辆卡车能否安全通过这个隧道?
26.如图是一座圆形人工湖,为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A,B,C三点,且点A,B之间的距离与点A,C之间的距离相等,并测得BC长为120米,点A到BC的距离为4米.
(1)请你帮他们求出该湖的半径.
(2)如果在圆周上再另取一点P,建造一座连接B,C,P三点的三角形艺术桥,且△BCP为直角三角形,则这样的点P可以有几处?请说明理由.
27.如图，M为⊙O内任意一点，AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM.求证：
(1)AB是过M点的所有弦中最短的弦；
(2)经过线段OM的弦是过M点的所有弦中最长的弦．
28.如图，已知圆O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.
(1)求证：点E是OB的中点；
(2)若AB＝8，求CD的长．



29.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是AB上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.

参考答案
一、选择题
1.把一个圆形纸片至少对折几次,才可以确定圆心 (B)
A.1次 B.2次 C.3次 D.无数次
2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折,直径两侧的部分相互重合,这说明 (B)
A.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心
B.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴
C.圆的直径相互平分
D.垂直弦的直径平分弦所对的弧
3.如图,已知OB为☉O的半径,且OB＝10 cm,弦CD⊥OB于点M.若OM∶MB＝4∶1,则弦CD的长为 (C)
　　　　　　
第3题图　 第4题图 第5题图
A.3 cm B.6 cm C.12 cm D.24 cm
4.如图,AB为☉O的弦,C为AB的中点,AB＝8,OC＝3,则☉O的半径为 (B)
A.4 B.5 C.6 D.7
5.如图,在半径为10的☉O中,弦AB＝16,OC⊥AB于点C,则OC的长为 (B)
A.5 B.6 C.7 D.8
6.下列说法正确的是 (D)
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
7.如图,在半径为5 cm的☉O中,圆心O到弦AB的距离为3 cm,则弦AB的长是(　C　)
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
　　　　　　
第7题图　 第8题图 第9题图
8.[广州中考]往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB＝48 cm,则水的最大深度为 (C)
A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.20 cm
9.如图,☉O的半径为5,弦AB＝8,P是弦AB上的一个动点(不与点A,B重合),下列不符合条件的OP的值是 (D)
A.4 B.3 C.3.5 D.2.5
10.学习了垂径定理后,数学老师让学生动手折一个半径为6、圆弧恰好经过圆心的图形,则可求出折痕的长为 (A)
A.63 B.43 C.23 D.2
　　　　　　
第10题图　 第11题图 第12题图
11.《九章算术》是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,ED=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.”则CD=(　C　)
A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸
12.如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于点D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于点F.若AC＝12,则OF的长为 (C)
A.8 B.7 C.6 D.4
13.如图，CD是⊙O的直径，AB是一条不过圆心的弦，E是AB的中点，则下列结论不正确的是(　D　)
A.CE⊥BE B. AC＝BC C. AD＝BD D.∠D＝∠BEC
　　　　　　　　　
第13题图　 第14题图 第15题图 第17题图
14.(2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是AB)的中点，点D是AB的中点，且CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为(　A　)
A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m
15.(2020·广州)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度为(　　)
A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.20 cm
【点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示，则CD长即为水的最大深度．
∵AB＝48 cm，∴BD＝AB＝×48＝24(cm)．
∵⊙O的直径为52 cm，∴OB＝OC＝26 cm.
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10(cm)，
∴CD＝OC－OD＝26－10＝16(cm)．
【答案】C
16.已知☉O的半径为15,弦AB∥CD,AB=24,CD=18,则AB,CD之间的距离为(　C　)
A.17 B.7 C.21或3 D.7或17
17.(2019·梧州)如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是(　　)
A．2 B．2 C．2 D．4
【点拨】如图，过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE.
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG－AE＝2.
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG.
∴△EOG是等腰直角三角形．
∴∠OEG＝45° ，OE＝OG＝2.
∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°. ∴OF＝OE＝.
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2.
【答案】C
二、填空题
18.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(－2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是　(－1,1)　.?
　　　　　　
第18题图　 第19题图 第20题图
19.如图,AB为☉O的直径,AB＝4,C为OA的中点,则过点C的最短弦长为　23　.?
20.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=?13　.?
21.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA＝100 cm,水面宽AB＝120 cm,某天下雨后,水管水面上升了20 cm,则此时排水管水面宽CD等于　1.6　m.?
　　　
第21题图　 第23题图
22.已知☉O的半径为10,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB＝16,CD＝12,则弦AB和CD之间的距离是　2或14　.?
23.如图,☉O的直径CD＝20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M.若OM∶OC＝3∶5,则弦AB的长为　16　.?
三、解答题
24.把一个球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知CD＝EF＝24 cm,求这个球的直径.
解:过点O作OG⊥AD于点G,交☉O于点H,连接OF.则GF＝12EF＝12,设这个球的半径为r,则OG＝24－r,
根据勾股定理,得(24－r)2＋122＝r2,解得r＝15.
答:这个球的直径为30 cm.
25.某隧道的截面由如图所示的图形构成,图形下面是长方形ABCD,上面是半圆形,其中AB＝10米,BC＝2.5米,隧道设双向通车道,中间有宽度为2米的隔离墩.一辆满载家具的卡车,宽度为3米,高度为4.9米,请计算说明这辆卡车能否安全通过这个隧道?
解:如图,作OM⊥AB,交AB于点M,图中KN＝3米,作KF⊥CD于点H,交☉O于点F,连接OF.
易知四边形OHKM是矩形,四边形ABCD是矩形,OH＝KM＝4米,AB＝CD＝10米,OF＝OD＝5米.在Rt△OHF中,FH＝OF2-OH2＝52-42＝3(米).∵HK＝BC＝2.5米,∴FK＝2.5＋3＝5.5(米).∵5.5>4.9,∴这辆卡车能安全通过这个隧道.
26.如图是一座圆形人工湖,为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A,B,C三点,且点A,B之间的距离与点A,C之间的距离相等,并测得BC长为120米,点A到BC的距离为4米.
(1)请你帮他们求出该湖的半径.

(2)如果在圆周上再另取一点P,建造一座连接B,C,P三点的三角形艺术桥,且△BCP为直角三角形,则这样的点P可以有几处?请说明理由.
解:如图,设圆心为点O,连接AB,AC,OB,OA,且OA交线段BC于点D,设湖的半径为x.
∵AB＝AC,∴AB＝AC,∴OA⊥BC,
∴BD＝CD＝12BC＝60.
∵AD＝4,∴OD＝x－4,
∴在Rt△BDO中,由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2,
∴x2＝(x－4)2＋602,解得x＝452,
∴人工湖的半径为452米.
(2)这样的点P可以有2处,过点B或点C作BC的垂线交圆于一点,此点即为P点.
27.如图，M为⊙O内任意一点，AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM.求证：
(1)AB是过M点的所有弦中最短的弦；
证明：设CD为过M点的任意一条不与AB重合的弦，作ON⊥CD，垂足为点N，连接OB，OC，如图所示．
由垂径定理得AB＝2BM，CD＝2CN.
设OB＝OC＝R，在Rt△BOM中，BM＝＝；
在Rt△CON中，CN＝＝.
∵OM，ON分别是Rt△MON的斜边、直角边，∴OM>ON.
∴R2－OM2∴AB＜CD，即AB是过M点的所有弦中最短的弦．
(2)经过线段OM的弦是过M点的所有弦中最长的弦．
证明：由(1)得CD＝2CN＝2，则ON越小，CD越长，且当ON＝0时，CD＝2R，此时CD经过线段OM.
∴经过线段OM的弦是过M点的所有弦中最长的弦．
28.如图，已知圆O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.
(1)求证：点E是OB的中点；

证明：连接AC. ∵直径AB垂直弦CD于点E，
∴CE＝DE，∠AEC＝∠AED＝90°.
又∵AE＝AE，∴△AEC≌△AED(SAS)．∴AC＝AD.
∵过圆心O的线段CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分线．∴AC＝CD.
∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°. ∴在Rt△COE中，OE＝OC.
∴OE＝OB，即点E是OB的中点．
(2)若AB＝8，求CD的长．
解：∵AB＝8，
∴OC＝OB＝AB＝4.
又∵BE＝OE，∴OE＝2.
∴在Rt△OCE中，CE＝＝＝2.
∴CD＝2CE＝4
29.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是AB上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.

解:(1)∵OD⊥BC,∴BD=12BC=12,
∴OD=OB2-BD2=152.
(2)存在,DE的长度是不变的.
连接AB,则AB=OB2+OA2=22.
∵D和E分别是线段BC和AC的中点,∴DE=12AB=2.
(3)连接OC,作DF⊥OE于点F.
∵BD=x,∴OD=4-x2.
∵OA=OB=OC,OD⊥BC,OE⊥AC,
∴∠BOD=∠DOC,∠COE=∠AOE,∴∠DOE=45°.
在Rt△DOF中,可得DF=OF=8-2x22,
在Rt△DEF中,可得EF=DE2-DF2=22x.
∴y=S△DOE=12(OF+EF)×DF=4-x2+x4-x24(0