24.1.4　圆周角 同步练习（含答案）

24.1　圆的有关性质
24.1.4　圆周角
一、选择题
1.下列图形中的角是圆周角的是 ( )
2.如图,已知点A,B,C在☉O上,∠A＝72°,则∠OBC的度数是 ( )
A.12° B.15° C.18° D.20°
　　　　　　　　　
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,AB经过圆心O,∠A＝60°,AC＝2,则☉O的直径是 ( )
A.2 B.4 C.3 D.23
4.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BOD＝120°,则∠BCD的大小是( )
A.120° B.100° C.80° D.60°
5.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC=6,BD为☉O的直径,则BD等于(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
6.(自贡中考)如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是(　　)
A.15° B.25° C.30° D.75°
　　　　　　　　　
第6题图 第7题图 第9题图 第10题图
7.如图,在☉O中,弦AB⊥CD于点E.若已知AD=9,BC=12,则☉O的半径为(　　)
A.5.5 B.6 C.7.5 D.8
8.已知半径为5的☉O中,弦AB＝52,弦AC＝5,则∠BOC的度数是 ( )
A.15° B.210° C.30°或150° D.60°或90°
9.如图,A,B,C,D,E都是☉O上的点,AC=AE,∠B＝118°,则∠D的度数为 ( )
A.122° B.124°
C.126° D.128°
10.如图,△ABC内接于☉O,∠A所对弧的度数为120°,∠ABC,∠ACB的平分线分别交AC,AB于点D,E,CE,BD相交于点F.以下四个结论:①∠BFE=60°;②BC=BD;③EF=FD;④BF=2DF.其中结论一定正确的是(　　)
A.①④ B.①②③ C.①③ D.②③
11.(2020·十堰)如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E.若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝(　　)
A．2 B．4 C. D．2

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12.(2020·杭州)如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则(　　)
A．3α＋β＝180° B．2α＋β＝180° C．3α－β＝90° D．2α－β＝90°
13.(中考·菏泽)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是(　　)
A．64° B．58° C．32° D．26°
14.(中考·咸宁)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(　　)
A．6 B．8 C．5 D．5
15.(中考·陇南)如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)， D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(　　)
A．15° B．30° C．45° D．60°

第15题图 第16题图 第17题图
16.(2020·张家界)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为(　　)
A．100° B．110° C．120° D．130°
17.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
18.如图,点A,B,C在☉O上,OA,OB是圆的半径,连接AB,BC,AC.若∠ABO＝55°,则∠ACB的度数是　 　.?
　　　　　　　　　
第18题图 第19题图 第20题图 第21题图
19.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠AOC＝70°,AD∥OC,则∠ABD＝　 　.?
20.如图，半径为5的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A的优弧上一点，∠OBC＝45°，则点C的坐标为_________.
21.(2019·台州)如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为_______．
22.(中考·曲靖)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE的度数为_______．
23.如图,在☉O中,半径OC⊥弦AB于点D,点E在☉O上,∠E＝22.5°,AB＝2,则半径OB的长为 　.?
　　　　　　　　　
第22题图 第23题图 第24题图 第25题图
24.如图,A,B,C,D四点都在☉O上,若∠C＝100°,则∠BAD＝　 　;∠BOD＝　 　.?
25.如图,AD是☉O的直径,弦BC与弦CD的长度相同,且∠A＝60°,则∠DOC＝　 　.?
26.(株洲中考)如图,已知AM为☉O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交☉O于点D,E,∠BMD=40°,则∠EOM=　 　°.?

第26题图 第27题图
27.如图,在△ABC中,AB＝AC＝5,以AB为直径的☉O与BC交于点D,与AC交于点E,连接OD交BE于点M,且MD＝1,则BE的长为　 　.?
三、解答题
28.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠ACD＝30°,AE＝2,求BD的长.
29.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为其对角线,∠ACB＝∠BAD,过点A作AE∥BC,交CD的延长线于点E.求证:EC＝AC.



30.如图,AD是☉O的直径,点O是圆心,C,F是AD上的两点,OC=OF,B,E是☉O上的两点,且AB=DE.求证:BC∥EF.

31.如图,在☉O中,AB＝CD,∠A＝∠C,AB,CD交于点P.求证DP＝BP.
32.如图，BC是半圆O的直径，AD⊥BC于点D，BA=AF，BF与AD交于点E.求证：
(1)∠BAD＝∠ACB；
(2)AE＝BE.
33.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：______________.
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
34.(中考·株洲)如图，已知AB是半径为1的⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于点E，交AB于点F，且△AEF为等边三角形．
(1)求证：△DFB是等腰三角形；
(2)若DA＝AF，求证：CF⊥AB.
35.如图,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,且AD＝BD.
(1)求BC,AD,BD的长.
(2)图中还有一条线段CD的长是否能确定?若能,求出CD的长.










36.如图,在锐角△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于点D,以AD为直径的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:∠EAF+∠EDF=180°.
(2)已知P是射线DC上的一个动点,当点P运动到PD=BD时,连接AP,交☉O于点G,连接DG.设∠EDG=∠α,∠APB=∠β,那么∠α与∠β有何数量关系?试证明你的结论.

37.[雅安中考改编]如图,四边形ABCD内接于圆,∠ABC＝60°,对角线BD平分∠ADC.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若AD＝2,CD＝3,求四边形ABCD的面积.
参考答案
一、选择题
1.下列图形中的角是圆周角的是 (B)
2.如图,已知点A,B,C在☉O上,∠A＝72°,则∠OBC的度数是 (C)
A.12° B.15° C.18° D.20°
　　　　　　　　　
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,AB经过圆心O,∠A＝60°,AC＝2,则☉O的直径是 (B)
A.2 B.4 C.3 D.23
4.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BOD＝120°,则∠BCD的大小是(A)
A.120° B.100° C.80° D.60°
5.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC=6,BD为☉O的直径,则BD等于(　D　)
A.4 B.6 C.8 D.12
6.(自贡中考)如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是(　C　)
A.15° B.25° C.30° D.75°
　　　　　　　　　
第6题图 第7题图 第9题图 第10题图
7.如图,在☉O中,弦AB⊥CD于点E.若已知AD=9,BC=12,则☉O的半径为(　C　)
A.5.5 B.6 C.7.5 D.8
8.已知半径为5的☉O中,弦AB＝52,弦AC＝5,则∠BOC的度数是 (C)
A.15° B.210° C.30°或150° D.60°或90°
9.如图,A,B,C,D,E都是☉O上的点,AC=AE,∠B＝118°,则∠D的度数为 (B)
A.122° B.124°
C.126° D.128°
10.如图,△ABC内接于☉O,∠A所对弧的度数为120°,∠ABC,∠ACB的平分线分别交AC,AB于点D,E,CE,BD相交于点F.以下四个结论:①∠BFE=60°;②BC=BD;③EF=FD;④BF=2DF.其中结论一定正确的是(　C　)
A.①④ B.①②③ C.①③ D.②③
11.(2020·十堰)如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E.若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝(　　)
A．2 B．4 C. D．2

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
【点拨】如图，连接OC.
∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°.
∵OA⊥BC，∴CE＝BE.
在Rt△COE中，OE＝OC，CE＝OE.
∵OE＝OA－AE＝OC－1，
∴OC－1＝OC，解得OC＝2.
∴OE＝1.
∴CE＝.
∴BC＝2CE＝2.
【点拨】D
12.(2020·杭州)如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则(　　)
A．3α＋β＝180° B．2α＋β＝180° C．3α－β＝90° D．2α－β＝90°
【点拨】∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°.
∴∠DBC＝90°－∠BEO＝90°－∠AED＝90°－α.
∴∠COD＝2∠DBC＝180°－2α.
∵∠AOD＋∠COD＝90°，
∴β＋180°－2α＝90°.
∴2α－β＝90°.
【答案】D
13.(中考·菏泽)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是(　D　)
A．64° B．58° C．32° D．26°
14.(中考·咸宁)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(　　)
A．6 B．8 C．5 D．5
【点拨】延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.
∵∠AOB＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD.
∴BE＝CD＝6.
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°.
∴AB＝＝＝8.
【答案】B
15.(中考·陇南)如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)， D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(　　)
A．15° B．30° C．45° D．60°

第15题图 第16题图 第17题图
【点拨】连接CD，由∠COD＝90°，
可得CD是⊙A的直径．
容易求得CD＝2，由OD＝CD知∠OCD＝30°，故∠OBD＝∠OCD＝30°.
【答案】B
16.(2020·张家界)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为(　C　)
A．100° B．110° C．120° D．130°
17.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为(　　)
A. B. C. D.
【点拨】如图，作OE⊥AD于点E，连接BD，OD．
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°.
又∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形．
易得DE＝AD＝1，∠ODE＝∠ADB＝30°，∴OE＝OD.
在Rt△OED中，根据勾股定理可得OE2＋DE2＝OD2，得OD＝.
【答案】D
二、填空题
18.如图,点A,B,C在☉O上,OA,OB是圆的半径,连接AB,BC,AC.若∠ABO＝55°,则∠ACB的度数是　35°　.?
　　　　　　　　　
第18题图 第19题图 第20题图 第21题图
19.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠AOC＝70°,AD∥OC,则∠ABD＝　20°　.?
20.如图，半径为5的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A的优弧上一点，∠OBC＝45°，则点C的坐标为___(0，5)_______.
21.(2019·台州)如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为__52°______．
22.(中考·曲靖)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE的度数为___n_____°
23.如图,在☉O中,半径OC⊥弦AB于点D,点E在☉O上,∠E＝22.5°,AB＝2,则半径OB的长为?2　.?
　　　　　　　　　
第22题图 第23题图 第24题图 第25题图
24.如图,A,B,C,D四点都在☉O上,若∠C＝100°,则∠BAD＝　80°　;∠BOD＝　160°　.?
25.如图,AD是☉O的直径,弦BC与弦CD的长度相同,且∠A＝60°,则∠DOC＝　60°　.?
26.(株洲中考)如图,已知AM为☉O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交☉O于点D,E,∠BMD=40°,则∠EOM=　80　°.?

第26题图 第27题图
27.如图,在△ABC中,AB＝AC＝5,以AB为直径的☉O与BC交于点D,与AC交于点E,连接OD交BE于点M,且MD＝1,则BE的长为　4　.?
三、解答题
28.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠ACD＝30°,AE＝2,求BD的长.
解:∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,
∴CE＝DE,∠AEC＝∠DEB＝90°.
∵∠B＝∠ACD＝30°,
∴在Rt△ACE中,AC＝2AE＝4,
CE＝AC2-AE2＝23,∴DE＝CE＝23.
在Rt△BDE中,∠B＝30°,∴BD＝2DE＝43.
29.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为其对角线,∠ACB＝∠BAD,过点A作AE∥BC,交CD的延长线于点E.求证:EC＝AC.
证明:∵AE∥BC,
∴∠E＋∠BCE＝180°,∠ACB＝∠CAE.
由圆内接四边形的性质可知∠BAD＋∠BCE＝180°,
∴∠E＝∠BAD.
∵∠ACB＝∠BAD,∴∠E＝∠CAE,
∴EC＝AC.
30.如图,AD是☉O的直径,点O是圆心,C,F是AD上的两点,OC=OF,B,E是☉O上的两点,且AB=DE.求证:BC∥EF.

证明:∵AB=DE,AD是直径,
∴AB=DE,BD=AE,∴∠A=∠D.
∵OC=OF,OA=OD,∴AC=DF,
∴△BAC≌△EDF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,
∴∠BCF=∠EFC,∴BC∥EF.
31.如图,在☉O中,AB＝CD,∠A＝∠C,AB,CD交于点P.求证DP＝BP.
证明:∵AB＝CD,∴CB＝AD,∴AD＝CB.
在△ADP和△CBP中,∠APD＝∠CPB,∠A＝∠C,AD＝CB,
∴△ADP≌△CBP(AAS),∴DP＝BP.
32．如图，BC是半圆O的直径，AD⊥BC于点D，BA=AF，BF与AD交于点E.求证：
(1)∠BAD＝∠ACB；
证明：(1)∵BC是半圆O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠BAD＋∠CAD＝90°.
又∵AD⊥BC，
∴∠ACB＋∠CAD＝90°.
∴∠BAD＝∠ACB.
(2)AE＝BE.
证明：∵BA=AF，
∴∠ACB＝∠ABF.
由(1)知∠BAD＝∠ACB，
∴∠ABF＝∠BAD.
∴AE＝BE.
33.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：_等边三角形_____________.
【思路点拨】由圆周角定理的推论判断△ABC的形状。
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
【思路点拨】在PC上截取PD＝PA，连接AD，通过判断
△PAD的形状得出PA，PB，PC之间的数量关系。
解：PA＋PB＝PC.证明如下：
如图①，在PC上截取PD＝PA，连接AD.
∵∠APC＝60°，
∴△PAD是等边三角形．
∴PA＝DA，∠PAD＝60°.
∵∠CPB＝60°，∴∠BAC＝60°.
∴∠PAD＝∠BAC.
∴∠PAB＝∠DAC.
又∵AB＝AC，
∴△PAB≌△DAC(SAS)．
∴PB＝DC.
∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【思路点拨】求BF的长，可以连接OC交BD于点H，根据垂径定理的推论和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．
解：如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E；过点C作
CF⊥AB，垂足为F.
由(1)知△ABC是等边三角形，
∴F为AB的中点，且CF过圆心O.
∵S△PAB＝AB·PE，
S△ABC＝AB·CF，
∴S四边形APBC＝AB·(PE＋CF)．
当点P为的中点时，E与F重合，PE＋CF＝PC，即PC为⊙O的直径．
∴此时四边形APBC的面积最大．
易求得AB＝，
∴S四边形APBC＝××2＝.
34.(中考·株洲)如图，已知AB是半径为1的⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于点E，交AB于点F，且△AEF为等边三角形．
(1)求证：△DFB是等腰三角形；
【思路点拨】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，由△AEF为等边三角形，得到∠CAB＝∠EFA＝60°，根据三角形外角的性质即可得到结论。
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°.
∴∠B＝30°.
∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，
∴∠B＝∠FDB＝30°.
∴FB＝FD，即△DFB是等腰三角形．
(2)若DA＝AF，求证：CF⊥AB.
【思路点拨】过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，根据等边三角形的性质得到FM＝EM＝a，AM＝a，再根据已知条件得到AB＝AF＋BF＝8a，根据直角三角形的性质得到EF＝CE＝2a，推出∠ECF＝∠EFC，根据三角形外角的性质可得到∠EFC＝30°，从而可得到结论。
证明：过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a.
∵△AEF是等边三角形，
∴FM＝EM＝a，AM＝a，
AE＝EF＝AF＝2a.
在Rt△DAM中，DA＝AF＝2a，AM＝a，
∴DM＝5a.
∴DF＝BF＝6a.
∴AB＝AF＋BF＝8a.
在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a.
∴CE＝AC－AE＝2a.∴CE＝EF.
∴∠ECF＝∠EFC.
∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，
∴∠EFC＝30°.
∴∠AFC＝∠EFA＋∠EFC＝60°＋30°＝90°，即CF⊥AB.
35.如图,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,且AD＝BD.
(1)求BC,AD,BD的长.
(2)图中还有一条线段CD的长是否能确定?若能,求出CD的长.
解:(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
∵AB＝10 cm,AC＝6 cm,∴BC＝8 cm.
∵AD＝BD,∴AD＝BD＝22AB＝52 cm.
(2)图中线段CD的长能确定.作AE⊥CD于点E.
∵AE⊥CD,∠ACE＝∠ABD＝45°,
∴AE＝CE＝22AC＝32 cm.
在Rt△AED中,DE＝AD2-AE2＝42 cm,
∴CD＝CE＋DE＝32＋42＝72(cm).
36.如图,在锐角△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于点D,以AD为直径的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:∠EAF+∠EDF=180°.
(2)已知P是射线DC上的一个动点,当点P运动到PD=BD时,连接AP,交☉O于点G,连接DG.设∠EDG=∠α,∠APB=∠β,那么∠α与∠β有何数量关系?试证明你的结论.

解:(1)在圆内接四边形AEDF中,AD为直径,
∴∠AED=∠AFD=90°.
又∵∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°,
∴∠EAF+∠EDF=360°-(∠AED+∠AFD)=180°.
(2)∠α=2∠β.
理由:如图,
在△ABD与△APD中,AD⊥BP,且BD=DP,AD=AD,∴△ABD≌△APD(SAS),∴∠B=∠APD=∠β.
在△ABP中,∠EAG+∠B+∠APD=180°,
∴∠EAG+2∠β=180°.
由(1)知∠EAG+∠EDG=180°,∴∠EAG+∠α=180°,∴∠α=2∠β.
37.[雅安中考改编]如图,四边形ABCD内接于圆,∠ABC＝60°,对角线BD平分∠ADC.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若AD＝2,CD＝3,求四边形ABCD的面积.
解:(1)由圆内接四边形的性质可知∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ABC＝60°,∴∠ADC＝120°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB＝∠CDB＝60°,
∴∠ACB＝∠ADB＝60°,∠BAC＝∠CDB＝60°,
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC,
∴△ABC是等边三角形.
(2)过点A作AM⊥CD交CD延长线于点M,过点B作BN⊥AC,垂足为N,∴∠AMD＝90°.
∵∠ADC＝120°,∴∠ADM＝60°,∴∠DAM＝30°,
∴DM＝12AD＝1,AM＝AD2-DM2＝3.
∵CD＝3,∴CM＝CD＋DM＝4,
∴S△ACD＝12CD·AM＝332,
在Rt△AMC中,AC＝AM2＋CM2＝19.
∵△ABC是等边三角形,∴AB＝BC＝AC＝19,
∴BN＝32BC＝572,
∴S△ABC＝12AC·BN＝1934,
∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝2534.