第二章 2.2 2.2.4 第1课时
1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<<1
C．<
D．ab>a＋b
2．已知当x＝a时，代数式x－4＋(x>－1)取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3
B．2
C．3
D．8
3．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为____，取得最大值时y的值为___.
4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为____.
5．求t＝x＋的取值范围.
第二章 2.2 2.2.4 第1课时
1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( C )
A．a－b<0
B．0<<1
C．<
D．ab>a＋b
解析：因为a>b>0，由均值不等式知<一定成立．
2．已知当x＝a时，代数式x－4＋(x>－1)取得最小值b，则a＋b＝( C )
A．－3
B．2
C．3
D．8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x>－1，得x＋1>0，>0，所以由均值不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
3．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为__3__，取得最大值时y的值为__2__.
解析：因为x>0，y>0且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．
4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__.
解析：x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”．
5．求t＝x＋的取值范围.
解析：当x>0时，x＋≥2＝2，
当且仅当x＝即x＝1时，“＝”成立，
所以x＋≥2.
当x<0时，x＋＝－(－x＋)
≤－2＝－2，
当且仅当－x＝，即x＝－1时“＝”成立．
所以x＋≤－2故t＝x＋的取值范围为{t|t≤－2或t≥2}．第二章 2.2 2.2.4 第1课时
请同学们认真完成
[练案15]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．下列说法错误的是( )
A．若a≥0，b≥0，则≥
B．若≥，则a≥0，b≥0
C．若a>0，b>0，且>，则a≠b
D．若>，且a≠b，则a>0，b>0
2．已知x>0，则＋x的最小值为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
3．已知a，b都为正实数，2a＋b＝1，则ab的最大值是( )
A．
B．
C．
D．
4．若y＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝( )
A．
B．3
C．
D．4
5．已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为___.
7．已知a>3，则＋a的最小值为___.
8．当x>0时，函数y＝的最大值为____.
三、解答题(共20分)
9．(10分)设x>－1，求的最小值．
10．(10分)(1)已知a>0，b>0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．
B级 素养提升
一、单选题(每小题5分，共10分)
1．《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A．≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C．≤(a>0，b>0)
D．≤(a>0，b>0)
2．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为( )
A．8
B．4
C．2
D．0
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．下列不等式一定成立的是( )
A．x2＋>x(x>0)
B．x＋≥2(x>0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
4．下列结论正确的是( )
A．当x>0时，＋≥2
B．当x>2时，x＋的最小值是2
C．当x>0，y>0时，＋≥2
D．若a>0，则a3＋的最小值为2
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．若0
若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为____.
四、解答题(共10分)
7．求y＝的最大值．
第二章 2.2 2.2.4 第1课时
请同学们认真完成
[练案15]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．下列说法错误的是( D )
A．若a≥0，b≥0，则≥
B．若≥，则a≥0，b≥0
C．若a>0，b>0，且>，则a≠b
D．若>，且a≠b，则a>0，b>0
解析：A选项为均值不等式，故正确；若≥，说明a，b为正数且可以取0，故B正确；若a>0，b>0，且>，则a≠b，因为均值不等式中等号成立的条件是两数相等，故C正确；D选项中，当a＝0，b＝1时，符合>，且a≠b，但不符合a>0，b>0.故D选项错误．
2．已知x>0，则＋x的最小值为( A )
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：∵x>0，∴＋x≥2＝6，
当且仅当x＝，即x＝3时取得最小值6，故选A．
3．已知a，b都为正实数，2a＋b＝1，则ab的最大值是( B )
A．
B．
C．
D．
解析：因为a，b都为正实数，2a＋b＝1，
所以ab＝≤()2＝，
当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时，ab取最大值.
4．若y＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝( B )
A．
B．3
C．
D．4
解析：∵y＝x＋＝(x－2)＋＋2
≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立，
∴当n＝3时，y＝x＋(x>2)取得最小值．
5．已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为( C )
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：依题意＋＝(＋)(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9(当且仅当＝时，等号成立)，故选C．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为____.
解析：因为a>0，b>0，a＋2b＝5，
所以ab＝a·2b≤()2＝，
当且仅当a＝2b时，取等号．
7．已知a>3，则＋a的最小值为__7__.
解析：根据题意，当a>3时，＋a＝＋(a－3)＋3≥2＋3＝7，当且仅当a＝5时，等号成立，即＋a的最小值为7.
8．当x>0时，函数y＝的最大值为__1__.
解析：因为x>0，所以y＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时，取等号，
故函数y＝的最大值为1.
三、解答题(共20分)
9．(10分)设x>－1，求的最小值．
解析：因为x>－1，所以x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有：
＝＝＝
t＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
所以当x＝1时，函数取得最小值是9.
10．(10分)(1)已知a>0，b>0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．
解析：(1)∵1＝4a＋b≥2＝4，
∴≤，∴ab≤，
当且仅当a＝，b＝时，取等号，故ab的最大值为.
(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，
∴＋＝1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋×3≥＋2＝5，
当且仅当＝，即x＝2y＝1时，取等号．
B级 素养提升
一、单选题(每小题5分，共10分)
1．《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( D )
A．≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C．≤(a>0，b>0)
D．≤(a>0，b>0)
解析：由图形可知OF＝AB＝，OC＝.
在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF＝＝.
∵CF≥OF，∴≤(a>0，b>0)．
2．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为( A )
A．8
B．4
C．2
D．0
解析：由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.所以x＋2y＝(x＋2y)×(＋)＝＋＋4≥4＋4＝8，当且仅当x＝2y时等号成立．
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．下列不等式一定成立的是( BC )
A．x2＋>x(x>0)
B．x＋≥2(x>0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
解析：对于A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；对于B，当x>0时，不等式成立，所以B一定成立；对于C，不等式显然恒成立，所以C一定成立；对于D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，所以D不成立．故选BC．
4．下列结论正确的是( AC )
A．当x>0时，＋≥2
B．当x>2时，x＋的最小值是2
C．当x>0，y>0时，＋≥2
D．若a>0，则a3＋的最小值为2
解析：在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2，等号取不到，因此x＋的最小值不是2，结论错误，
显然C正确；在D中，2不是定值，结论错误．故选AC．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．若0解析：因为02ab因为a2＋b2>2()2＝，
a2＋b2＝a·a＋b2所以又2ab<2()2＝，2ab>2×a＝a，
所以a<2ab<，所以a<2ab<6．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为____.
解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤()2＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴9ab＋10≤，∴≥，故＋的最小值为.
四、解答题(共10分)
7．求y＝的最大值．
解析：设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，
则y＝.
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝≤＝，
当且仅当2t＝，即t＝时等号成立，
即当x＝－时，y的最大值为.