第二章 2.2 2.2.4 第2课时
请同学们认真完成
[练案16]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．若0A．1
B．
C．
D．
2．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
3．(2019·江苏南京师大附中高二期中)函数y＝(x>－1)的图像的最低点的坐标是( )
A．(1,2)
B．(1，－2)
C．(1,1)
D．(0,2)
4．若对所有正数x，y，不等式x＋y≤a都成立，则a的最小值是( )
A．
B．2
C．2
D．8
5．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )
A．2
B．4
C．8
D．16
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知x≥，则y＝的最小值是___.
7．(2019·辽宁本溪高级中学高二期中)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是___；a＋b的取值范围是____.
三、解答题(共20分)
9．(6分)(2019·湖北华中师大一附中高二检测)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c<＋＋.
10．(7分)a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．
11．(7分)已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
B级 素养提升
一、单选题(每小题5分，共10分)
1．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝
B．x≤
C．x>
D．x≥
2．已知正实数m，n满足m＋n＝1，且使＋取得最小值．若y＝，x＝是方程y＝xα的解，则α＝( )
A．－1
B．
C．2
D．3
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1>a
B．(a＋)(b＋)≥4
C．(a＋b)(＋)≥4
D．a2＋9>6a
4．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．ab>1
B．ab<1
C．<1
D．>1
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72
dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2
dm，左右空白各宽1
dm，则四周空白部分面积的最小值是____dm2.
6．设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时a的值为___.
四、解答题(共10分)
7．某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数．
(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
第二章 2.2 2.2.4 第2课时
请同学们认真完成
[练案16]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．若0A．1
B．
C．
D．
解析：因为00，所以x＝×2x×≤×＝，当且仅当2x＝即x＝时等号成立，故选C．
2．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
解析：由于x>1，所以x－1>0，>0，
于是x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当＝x－1即x＝2时等号成立，
即x＋的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a≤3，故选D．
3．(2019·江苏南京师大附中高二期中)函数y＝(x>－1)的图像的最低点的坐标是( D )
A．(1,2)
B．(1，－2)
C．(1,1)
D．(0,2)
解析：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝＝(x＋1)＋≥2，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立，即当x＝0时，该函数取得最小值2.所以该函数图像最低点的坐标为(0,2)．
4．若对所有正数x，y，不等式x＋y≤a都成立，则a的最小值是( A )
A．
B．2
C．2
D．8
解析：因为x>0，y>0，
所以x＋y＝≤＝·，
当且仅当x＝y时等号成立，
所以使得x＋y≤a对所有正数x，y恒成立的a的最小值是.故选A．
5．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( C )
A．2
B．4
C．8
D．16
解析：因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
因为m>0，n>0，所以＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．故选C．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知x≥，则y＝的最小值是__1__.
解析：f(x)＝＝＋＝＋≥
2＝1.
当且仅当＝，即x＝3时取“＝”．
7．(2019·辽宁本溪高级中学高二期中)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋解析：∵不等式x＋0，y>0，且＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，∴(x＋)min＝4，∴m2－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，故实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__[9，＋∞)__；a＋b的取值范围是__[6，＋∞)__.
解析：①∵正数a，b满足ab＝a＋b＋3，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即()2－2－3≥0，
解得≥3，即ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
∴ab∈[9，＋∞)．
②∵正数a，b满足ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3＝ab≤()2，
即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，
当且仅当a＝b＝3时取等号，
∴a＋b∈[6，＋∞)．
三、解答题(共20分)
9．(6分)(2019·湖北华中师大一附中高二检测)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c<＋＋.
解析：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥＝2c，
＋≥＝2a，
＋≥＝2b，
以上三个不等式相加，得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
因为a，b，c不全相等，
所以上述三个不等式中的“＝”不都同时成立．
所以a＋b＋c<＋＋.
10．(7分)a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．
解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
∵＋≥，
∴n≤＋.
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴n≤＋，
∴n≤＋＋2.
∵＋≥2＝2(2b＝a＋c时取等号)．
∴n≤4.∴n的最大值是4.
11．(7分)已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
解析：∵a＋b＋c＝1，
∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．
又a，b，c都是正实数，
∴≥>0，≥>0，≥>0.
∴≥abc.
∴(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
B级 素养提升
一、单选题(每小题5分，共10分)
1．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( B )
A．x＝
B．x≤
C．x>
D．x≥
解析：由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，
所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤[]2，
所以1＋x≤1＋，故x≤.
2．已知正实数m，n满足m＋n＝1，且使＋取得最小值．若y＝，x＝是方程y＝xα的解，则α＝( C )
A．－1
B．
C．2
D．3
解析：＋＝(＋)(m＋n)＝1＋＋＋16＝17＋＋≥17＋2＝25.
当且仅当＝，又m＋n＝1，
即m＝，n＝时，上式取等号，
即＋取得最小值时，m＝，n＝，所以y＝25，x＝5,25＝5α.
得α＝2.
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是( ABC )
A．a2＋1>a
B．(a＋)(b＋)≥4
C．(a＋b)(＋)≥4
D．a2＋9>6a
解析：由于a2＋1－a＝(a－)2＋>0，
∴a2＋1>a，故A恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2，
∴(a＋)(b＋)≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故B恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2，
∴(a＋b)(＋)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故C恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故D不恒成立；故选ABC．
4．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( BD )
A．ab>1
B．ab<1
C．<1
D．>1
解析：因为ab≤()2，a≠b，所以ab<1，
又1＝＝<，
所以>1，所以ab<1<.
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72
dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2
dm，左右空白各宽1
dm，则四周空白部分面积的最小值是__56__dm2.
解析：设阴影部分的高为x
dm，
则宽为
dm，四周空白部分的面积是y
dm2.
由题意，得y＝(x＋4)(＋2)－72＝8＋2(x＋)≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，即x＝12
dm时等号成立．
6．设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时a的值为__－2__.
解析：因为a＋b＝2，
所以＋＝＋＝＋＝
＋＋≥＋2＝＋1，
当且仅当＝时等号成立．
又a＋b＝2，b>0，
所以当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．
四、解答题(共10分)
7．某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数．
(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解析：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，即k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
∴2019年该产品的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－[＋(m＋1)]＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，当且仅当
＝m＋1，即m＝3时，ymax＝21.故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．第二章 2.2 2.2.4 第2课时
1．若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为( )
A．8
B．6
C．4
D．2
2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A．≤
B．＋≤1
C．≥2
D．a2＋b2≥8
3．若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____.
4．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为__.
第二章 2.2 2.2.4 第2课时
1．若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为( C )
A．8
B．6
C．4
D．2
解析：直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果．实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b，且ab＝时，等号成立，故选C．
2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( D )
A．≤
B．＋≤1
C．≥2
D．a2＋b2≥8
解析：4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，A，C不成立；＋＝＝≥1，B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8.
3．若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25_m2__.
解析：设矩形的一边为x
m，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
所以y＝x(10－x)≤[]2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25
m2.
4．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为____.
解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.
