2021-2022学年北师大版九年级数学上册 1.2矩形的性质与判定 提升训练（Word版 附答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
能力达标专题提升训练（附答案）
一．选择题
1．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥BG交CD于点E，CB＝CE，连接CG交BE于点F，则∠ECF的度数为（　　）
A．30°
B．22.5°
C．25°
D．15°
2．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作?EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，?EFGH的面积（　　）
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．不变
D．先增大，再减小
3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF等于（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（　　）
A．60°
B．45°
C．30°
D．22.5°
5．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AC＝BD
B．AC⊥BD
C．AB＝DC
D．AB⊥DC
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）
A．1.2
B．1.25
C．2.4
D．2.5
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　）
A．1
B．
C．2
D．
二．填空题
8．如图，矩形ABCD中，M是边CD的中点，连接AM，取AM的中点N，连接BN．若AB＝2，BC＝3，则BN的长为　
　．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，DE平分∠ADC交BC于点E，AF平分∠BAD交BC于点F，交DE于点G，则＝　
　．
10．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为　
　．
11．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF，连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E恰好关于直线DG对称，若AD＝6，则AB的长为　
　．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD上，且DE＝CD，连接OE，BE，AC与BE相交于点F，∠ABE＝∠ACB，则下列结论：①BE＝DE；②OE⊥BD；③△AEF是等腰三角形；④当AE＝2，则OE的长为，其中正确的结论是　
　．（填写所有正确结论的序号）
13．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为　
　．
三．解答题
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
16．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）求四边形AEBD的面积．
18．如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．
（1）求证：△AEO≌△BDO；
（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并证明你的结论．
19．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
20．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．
（1）依题意，补全图形；
（2）求证：四边形EFMN是矩形；
（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON＝3，求矩形ABCD的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：取BE的中点O，连接OG，OC，
∵O，G为中点，
∴OG为四边形ADEB的中位线，
∴AB∥OG∥DE，
∴∠OGC＝∠ECF，
∵CE＝BC，∠BCE＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝∠BEC＝45°，
∵∠BCE＝90°，O为BE的中点，
∴OC＝OE＝BE，
∴∠OCE＝∠OEC＝45°，
∵GE⊥BG，O为BE的中点，
∴OG＝BE，
∴OG＝OC，
∴∠OGC＝∠OCG，
∴∠OCG＝∠ECF＝∠OCE＝22.5°，
故选：B．
2．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△GFC，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
故选：C．
3．解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB═OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故选：D．
5．解：若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是AB⊥DC，理由如下：
∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，FH＝AB，FH∥AB，GF∥DC，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AB⊥DC，GF∥DC，FH∥AB，
∴GF⊥FH，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
故选：D．
6．解：连接AP，如图：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：C．
7．解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即DE＝；
故选：B．
二．填空题
8．解：过点N作GH∥AB，分别交BC于点G，交AD于点H，如图，
∵矩形ABCD，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝∠ABG＝90°，AB∥CD，
∴四边形CDHG，四边形GHAB为矩形，
∴∠BGN＝90°，GH＝CD＝AB，GH∥CD∥AB，
∵N为AM中点，
∴MN＝AN，DH＝HA，
∴CG＝GB＝BC＝，H为DA的中点，
∴NH为△AMD的中位线，
∴NH＝MD，
∵M是CD的中点，
∴MD＝CD＝AB＝1，
∴NH＝，
∴GN＝GH﹣NH＝AB﹣NH＝，
在Rt△BGN中，由勾股定理得，
BN＝＝，
故答案为：．
9．解：如图，过点G作AD的垂线，分别交AD，BC于点N，M，
则四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝AB＝3，CM＝DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝4，
∵DE平分∠ADC交BC于点E，AF平分∠BAD交BC于点F，
∴∠DAG＝∠ADG＝∠GEF＝∠GFE＝45°，
∴△AGD和△GEF均为等腰直角三角形，
∴GN＝DN＝AD＝2，
∴GM＝MN﹣GN＝AB﹣GN＝3﹣2＝1，
MC＝DN＝2，
∴MF＝GM＝1，
∴CG＝＝＝，
∴GF＝，
∴＝＝．
故答案为：．
10．解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝20，
∴BQ＝10，
①当BP＝PQ时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1所示：
则BM＝MQ＝5，且四边形ABMP为矩形，
∴AP＝BM＝5，
②当BQ＝BP时，则BP＝10，在Rt△ABP中，AB＝8，由勾股定理可求得AP＝6，
③当PQ＝BQ时，
过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝6，
则AR＝4，AS＝16，
即R、S为满足条件的P点的位置，
∴AP＝4或16，
综上可知AP为4或5或6或16，
故答案为：4或5或6或16．
11．解：连接EF、EG、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥AD，
∵AF＝BF，点E是AB的中点，
∴EF⊥AB，AB＝2BE，AE＝BE，
∴∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD∥BC，
∴DF＝FG，
在Rt△DCG中，CF为斜边DG上的中线，
∴CF＝DG＝FG，
∵EF∥GC，
∴∠OEF＝∠OCG，∠OFE＝∠OGC，
∵点C与AB的中点E关于直线DG对称，
∴DG垂直平分线段EC，
∴FG⊥CE，EO＝CO，EF＝CF，
在△OEF和△OCG中，
，
∴△OEF≌△OCG（AAS），
∴EF＝CG，
∴CF＝FG＝CG，
∴△CGF是等边三角形，
∴∠GCF＝60°，
∵CO⊥GF，
∴CO平分∠GCF，
∴∠GCO＝GCF＝30°，
在Rt△BCE中，∠EBC＝90°，∠BCE＝30°，BC＝6，
∴CE＝2BE，
∴BE＝＝＝2．
∴AB＝2BE＝4；
故答案为：4．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝90°，
∵DE＝CD，
∴AB＝DE，
∵AB＜BE，
∴BE≠DE，故①错误；
∵BO＝DO，BE≠DE，
∴OE与BD不垂直，故②错误；
如图，作CH⊥BE于H，EG⊥BD于G．设BE与AC的交点为F．
则∠HBC+∠BCH＝∠BHC＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AC＝BD
∴∠ABE+∠CBH＝90°，
∴∠ABE＝∠BCH，
∵∠ABE＝∠ACB，
∴∠BCH＝∠GCH，
∴BH＝FH，BC＝CG，∠CBH＝∠CGH，
设AB＝x，则ED＝CD＝AB＝x，
∵AE＝2，所以AD＝AE+ED＝2+x，
∴CB＝CF＝2+x，
∵AD∥BC，
∴∠AEG＝∠CBH＝∠CGH＝∠AGE，
∴AF＝AE＝2，故③正确；
∴AC＝AG+CG＝4+x，
在Rt△ABC中：AB2+BC2＝AC2，
∴x2+（x+2）2＝（x+4）2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍），
∴AB＝CD＝6，AD＝AC＝8，AC＝BD＝10，
∵AC与BD交于点O，
∴AO＝BO＝CO＝DO＝5，
∴EG＝ED＝，DG＝ED＝，
∴OG＝OD﹣DG＝5﹣＝，
在Rt△OGE中：
OE2＝EG2+OG2＝（）2+（）2＝＝13，
∴OE＝，故④正确．
故其中正确的结论是③④．
故答案为：③④．
13．解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠MHB＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，
∴EH＝1﹣2x，
∴ME+2AF＝+2＝+，
欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），
作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，
∵J′（0，﹣4），K（1，1），
∴KJ′＝＝，
∴ME+2AF的最小值为，
故答案为．
三．解答题
14．证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形ODFC是菱形．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）四边形MENF是菱形．
证明如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，
∴NE＝FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
16．证明：
（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD＝OC，
又OE＝OF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG
∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
17．（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE＝CD．
在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，BD＝CD．
∴BD＝AE．
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：在Rt△ADC中，∠ADB＝90°，AC＝5，BD＝CD＝BC＝3，
∴AD＝＝4．
∴四边形AEBD的面积＝BD?AD═3×4＝12．
18．（1）证明：∵E是AC的中点，
∴EC＝AC，
∵DB＝AC，
∴DB＝AE，
又∵DB∥AC，
∴∠DBO＝∠EAO，∠BDO＝∠AEO，
在△AEO与△BDO中，
，
∴△AEO≌△BDO；
（2）△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．
理由如下：∵E是AC的中点，
∴AE＝AC，
∵DB＝AC，
∴DB＝AE，
又∵DB∥AC，
∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB＝BC，E为AC中点，
∴∠AEB＝90°，
∴平行四边形DBEA是矩形，
即△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．
19．解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，
则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，
答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．
（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
21．（1）解：如图所示：
（2）证明：∵点E，F分别为OA，OB的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
同理：NM∥CD，MN＝DC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AC＝BD，
∴EF∥NM，EF＝MN，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∵点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，
∴EO＝AO，MO＝CO，
在矩形ABCD中，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∴EM＝EO+MO＝AC，
同理可证FN＝BD，
∴EM＝FN，
∴四边形EFMN是矩形．
（3）解：∵DM⊥AC于点M，
由（2）MO＝CO，
∴DO＝CD，
在矩形ABCD中，
AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵MN∥DC，
∴∠FNM＝∠ODC＝60°，
在矩形EFMN中，∠FMN＝90°．
∴∠NFM＝90°﹣∠FNM＝30°，
∵NO＝3，
∴FN＝2NO＝6，FM＝3，MN＝3，
∵点F，M分别为OB，OC的中点，
∴BC＝2FM＝6，
∴矩形的面积为BC?CD＝36．