3.1指数幂的扩充 课件（共33张PPT ）——2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§1　指数幂的扩充
第三章　指数运算与指数函数
课件制作老师：胡琪
教学目标
01
02
了解无理数指数幂.
03
学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
理解分数指数幂的含义,
分数指数幂概念和与根式转化
重点
难点
理解无理指数幂的逼近思想
环节一
根式
复习
由初中所学知识及示例完成下面填空
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 　； 25=32，则2叫做32的 .
4次方根
5次方根
示例：① (±2)2＝４，则称±２为４的　　　　；
② 23=8，则称２为8的　　　　；
平方根
立方根
xn =a，其中n＞1，且n∈N﹡
根式概念
一般地，若 xn=a, 则 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 (n>1且 n∈N*. ）
根式性质
1.当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数, a 的 n 次方根用符号 ???????? 表示.
?
2. 当 n 为偶数时, 正数的 n 次方根有两个, 它们互为相反数, 这时, 正数的正的 n 次方根用符号 ???????? 表示, 负的 n 次方根用符号 - ????????表示. 正负两个 n 次方根可以合写为 ±????????(a>0).
?
3.????????????=????
?
4.当n是偶数时，????????????=????；当n是奇数时，????????????=????
?
5.负数没有偶次方根
?
6.零的任何次方根都是零.
?
易混
例1. 化简：
(1)?????????????????(x＜π，n∈N*)；
(2)4????+24
?
[解]　(1)∵x＜π，∴x－π＜0.
当n为偶数时， ??????????????????＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时， ??????????????????＝x－π.
?
例1. 化简：
(1)?????????????????(x＜π，n∈N*)；
(2)4????+24
?
解： 4????+24=????+????，????≥??????????+????，?????
1.求下列各式的值
1.?????????????=
2.?????????????=
3.?????????????=
4.?????????????????=
5.?????????????=
?
微练
-8
-8
10
?????????
?
?????????,????≥?????????????,?????
2.若xy≠0，则使????????????????????＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x＞0，y＞0　　　　　 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
?
微练
解：∵ ?????????????????????＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.
?
点拨
根式化简或求值的注意点：
解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
环节二
分数指数幂概念
情境与问题
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积????(单位：hm2)与年数????（年）的关系式为
????=????0?1.057????.
其中????0为侵害面积的初始值
?
如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算????=????0?1.05715.5，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
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指数是分数.
观察下列各式,你能得出什么结论
观察 与思考
????????????????=????????????????=????????=????????????????
?
????????????????=????????????????=????????=????????????????
?
通过观察题中两式可以得出,当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
环节三
正分数指数幂
给定正数????和正整数????,????(????>????,且????,????互素)，若存在唯一的正数????，使得????????=????????，则称????为????的????????次幂.
记作????=????????????，这就是正分数指数幂.
例如：????????=????，则????=????????????；????????=????????????，则????=??????????????
?
正分数指数幂
点拨
①当????是正整数时，分数指数幂????????????满足：????????????=????????????????????
②与312=3类似，
当底数????>0时，????????????=????????????，其中????????????读作“????次根号下????????”，也叫根式运算.
例如：812=8=22，2723=3272=9；
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点拨
③根据分数指数幂????????????的定义，
分数指数幂的条件是：底数????>0.
虽然3?27=?3，
但不能写成(?27)13=?3.
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例2.把下列各式中的正数????写成正分数指数幂的形式：
（1）????5=20； （2）????4=25；
（3）????????=3????????,????∈????+；（4）????3????=????9????????,????∈????+
?
解：(1)?????=2015； (2)?????=254；
(3)?????=3????????； (4)?????=????9????3????=????3????????
?
环节四
负分数指数幂
负分数指数幂
类似负整数指数幂的定义，给定????>0，正整数????,????(????>1,且????,????互素)，定义
?????????????=1????????????=1????????????.
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例3.用分数指数幂表示下列各式中的a(a>0).
(1)a-8=28;
(2)a-8=57;
(3)a-8n=33m(m,n∈N+).
解:(1)∵a-8=28,∴a=2?????????????.
(2)∵a-8=57,∴a=?????????????.
(3)∵a-8n=33m,∴a=?????????????????????.
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例4. （????）????????????????化为分数指数幂为　　　　.
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解： . ????????????????=?????????????
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例4. （????）将????????????????????????化为分数指数幂的形式,其中a>0,b>0..
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解： ????????????????????????=?????????????????????????=?????????????????????????=?????????????????????????.

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例5.在下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 (　　)
A.(-x)0.5=- ????(x≠0)
B. ????????????=????????????
C.????????????????? =???????????????? (xy>0)
D. ?????????????= ????????
?
应倒数
应倒数
不一定有意义
例6.已知a>0,则?????????????可化为(　　)
A.????????????? B.???????????? C.???????????? D.?????????????
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解析:由根式与分数指数幂的互化,得?????????????=?????????????(a>0).
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环节五
无理指数幂
1.无理数是无限不循环小数,课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的?
随着无理数指数精确度越高,以无理数指数的不足近似值和过剩近似值为指数的幂会无限趋近于同一个数,这个数即为无理数指数幂.
例7.填空:
(1)定义:一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,可用课本中类似的方法定义一个实数aα.这是一个确定的正实数.规定:
?????????=???????????? ,这样指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数.
(2)①给定一个正数a,对任意实数α,指数幂aα都大于0;
②0的任意正实数指数幂都等于0;
③0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义.
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判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)只要根式有意义,都能写成分数指数幂的形式.( × )
(2)分数指数幂????????????可以理解为????????个a相乘.( × )
(3)0的任何指数幂都等于0.( × )
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微练
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课堂小结
1．核心要点
分式指数幂概念
2．数学素养
体会归纳推理的过程,加强运算能力素养的培养.
谢谢观看
课件制作老师：胡琪