9.2.2总体百分数的估计（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第九章 统计
9.2.2总体百分数的估计
一、教学目标
1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.
2.掌握求一组数据的百分位的基本步骤：
3.通过对总体百分数的估计的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点
1.理解百分位数的概念及其简单应用
2.求样本数据的第p百分位数.
三、教学过程：
（1）创设情景
阅读课本，完成下列填空。
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据小于或等于这个值，且至少有_________的数据大于或等于这个值.
新知探究
问题1:计算一组n个数据的第p百分位数有哪些具体步骤?
学生回答,教师点拨并(提出本节课所学内容)
新知建构
第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
计算第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i ＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第项与第(i+1)项数据的平均数.
（4）数学运用
例1.现有甲、乙两组数据如下表所示．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．
【解析】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15.
因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5；
甲组数的75%分位数为＝＝9.5.
乙组数的25%分位数为＝＝1，乙组的75%分位数为＝＝12.
变式训练1:某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图知，水、电支出占水、电、交通支出的比例为，
由图知，水、电、交通支出占学校一个学期总开支的比例为，
因此，该学期的水电费开支占总开支的百分比为，故选：B。
变式训练2:从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数．
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
【解析】(1)将所有数据从小到大排列，得
7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，
则第25百分位数是＝8.15，
第75百分位数是＝8.75，
第95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
例2.有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；[30.5,33.5]，8.
(1)列出样本的频率分布表(含累计频率)．
(2)画出频率分布直方图．
(3)根据频率分布表的累计频率估计样本的90%分位数．
【解析】(1)样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率 累计频率
[12.5,15.5) 6 0.06 0.06
[15.5,18.5) 16 0.16 0.22
[18.5,21.5) 18 0.18 0.40
[21.5,24.5) 22 0.22 0.62
[24.5,27.5) 20 0.20 0.82
[27.5,30.5) 10 0.10 0.92
[30.5,33.5] 8 0.08 1.00
合计 100 1.00
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)由频率分布表的累计频率知，小于30.5的数据所占的比例为92%，所以90%分位数一定在区间[27.5，30.5)内，由27.5＋3×＝29.9，可以估计样本的90%分位数为29.9.
变式训练:已知一组数据：125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是(　　)
A．125　128 B．124　128
C．125　129 D．125　128.5
【答案】D
【解析】把这15个数据按从小到大排序，可得121,123,124,125,125,125,125,126,126,127,127,128,129,129,130，由25%×15＝3.75,80%×15＝12，可知数据的第25百分位数为第4项数据为125，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即×(128＋129)＝128.5.
例3:某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．
（3）根据(2)中求得的数据a＝0.001 5，b＝0.002 0.计算用电量的75%分位数．
【解析】(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y与x之间的函数解析式为y＝
（2）由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数为m在[300,400)内，
所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75,
解得m＝375千瓦时，
即用电量的75%分位数为375千瓦时．
（3）设75%分位数为m，因为用电量低于30千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
变式训练:山东省教育厅为了了解和掌握2019年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
(1)求样本数据的第60,80百分位数．
(2)估计2019年高考考生的数学成绩的90%分位数．
【答案】(1)第60百分位数为110，第80百分位数约为119.4.
(2)数学成绩的90%分位数为124.1.
【解析】从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，
前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，
前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，
前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92.
(1)由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的第60百分位数为110，样本数据的第80百分位数一定在第八组[115,120)内，由115＋5×＝119.4，估计样本数据的第80百分位数约为119.4.
(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90%分位数一定在第九组[120,125)内，由120＋5×＝124.1，估计2019年高考考生的数学成绩的90%分位数为124.1.
四、小结：
第p百分位数的定义:
计算第p百分位数的步骤:
五、作业：习题9.2.2