4.3.1等比数列的概念 教案——2020－2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章
数列
4.3.1等比数列的概念
教学设计
一、教学目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的实际问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质.
二、教学重难点
1、教学重点
等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式、等比数列的性质、等比数列的应用.
2、教学难点
等比数列的运算、等比数列的性质及应用.
三、教学过程
1、新课导入
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
2、探索新知
请看下面几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
；①；②.③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
.④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20
min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2，4，8，16，32，64，…⑤
4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
.⑥
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
如果用表示数列①，那么有.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.
其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律.
类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然），例如，数列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，1+r.
与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，.
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列的公比为q，根据等比数列的定义，可得.
所以，，，……
由此可得，又，这就是说，当n=1时上式也成立.因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.
类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第n项是指数函数当时的函数值，即.
反之，任给指数函数（k，a为常数，，，且），则，，…，，…构成一个等比数列，其首项为，公比为.
下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些问题.
例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
分析：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解.
解法1：由，，得，②的两边分别除以①的两边，得.
解得.
把代入①，得.此时，把代入①，得.此时.因此，的第5项是24或-24.
解法2：因为是与的等比中项，所以.
所以.因此，的第5项是24或-24.
学习课本例2例3，加深对等比数列的理解，并继续体会等比数列的实际应用.
例4用10000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，a(1+r)，a(1+r)2，…构成等比数列.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，
首项，公比，所以.
所以，12个月后的利息为（元）.
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为1+r.于是.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元.
解不等式，得.
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
根据例题，你能总结出应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤吗？
（1）构建等比数列模型；
（2）明确，，，等基本量；
（3）利用求解；
（4）还原为实际问题.
3、课堂练习
1.已知等比数列中，公比，且，，则=（
）
A．2
B．3
C．6
D．3或6
答案：B
解析：∵数列是公比大于1的等比数列，∴，又，两式联立解得：，∴，则，故选B.
2.已知数列中，“”是“数列为等比数列”的什么条件(
)
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
2.答案：B
解析：若数列为等比数列，则满足，当数列时满足，但此时数列为等比数列不成立，即“”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，故选B
3.等比数列中，，，则与的等比中项是(
)
A．
B．4
C．
D．
3.答案：A
解析：设与的等比中项是.由等比数列的性质可得，，∴与的等比中项.故选A.
4.在等比数列中，，，则_________.
答案：1
解析：设等比数列的公比为.由，得，解得.又由，得，则.
5.已知数列满足，，.
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由.
答案：(1)由题得，
将代入，得，而，，
将代入，得，，
，，.
(2)是首项为2，公比为3的等比数列.
由题得，即，
又，是首项为2，公比为3的等比数列.
4、小结作业
小结：本节课学习了等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式、等比数列的性质、等比数列的应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.3.1等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.
与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，.
首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.