5.3.1函数的单调性 教案——2020－2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章
一元函数的导数及其应用
5.3
导数在研究函数中的应用
5.3.1
函数的单调性
教学设计
一、教学目标
1.
理解可导函数的单调性与其导数的关系；
2.
能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间；
3.
能够利用函数的单调性解决有关问题.
二、教学重难点
1.
教学重点
利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间.
2.
教学难点
证明不等式及逆向求参问题.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1
如图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图（2）是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.，b是函数的零点.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
（二）探索新知
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即单调递增.相应地，.
（2）从最高点到入水，运功员的重心处于下降状态，画水面的高度h随时间t的增加而减小，即单调递减.相应地，.
思考：从以上观察中发现，函数的单调性与的正负有内在联系.那么，我们能否由的正负来判断函数的单调性呢？
在问题1中，可以发现：
当时，，函数的图象是“上升”的，函数在上单调递增；
当时，，函数的图象是“下降”的，函数在上单调递减.
问题2
观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
如下图，导数表示函数的图象在点处的切线的斜率.
可以发现：
在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减.
结论：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减.
例1
利用导数判断下列函数的单调性：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）因为，所以.
所以，函数在R上单调递增，如图（1）所示.
（2）因为，所以.
所以，函数在上单调递减，如图（2）所示.
（3）因为，所以.
所以，函数在区间和上单调递增，如图（3）所示.
下面用导数来研究形如的函数的单调性.
例2
求函数的单调区间.
解：函数的定义域为R.
对求导数，得.
令，解得或.
和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表所示.
表5.3.1
2
0
0
单调递增
单调递减
单调递增
所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图所示.
判断函数的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.
下面来研究对数函数与幂函数在区间上增长快慢的情况.
对数函数的导数为，所以在区间上单调递增.当越来越大时，越来越小，所以函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”，如图（1）.
幂函数的导数为，所以在区间上单调递增.
当越来越大时，越来越大，函数递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”，如图（2）.
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
例3
设，两个函数的图象如图所示.判断，的图象与，之间的对应关系.
解：因为，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
所以，，在上都是增函数.在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”.
所以，，的图象依次是图中的，.
（三）课堂练习
1.下列函数中，在上为增函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：B中，在上恒成立，在上为增函数.对于选项A，C，D，都存在，使的情况.故选B.
2.函数的单调递减区间为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由题可得，令，即，解得或，又因为，所以.故选C.
3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：，.
函数在区间上单调递增，
，即，得.
当时，，
实数的取值范围是.故选C.
4.已知函数，则的单调递增区间为_________________.
答案：
解析：因为，，
所以.
由可得，所以或，
即的单调递增区间为.
5.已知，函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围.
答案：（1）因为，
所以曲线在点处的切线斜率.
而直线的斜率为，则，得.
（2）由在上单调递减，
得在上恒成立，
即在上恒成立.
又时，，所以，
所以的取值范围是.
小结作业
小结：利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间.
作业：
四、板书设计
5.3.1
函数的单调性
1.
函数的单调性与导数的关系；
2.
形如的函数的单调性.
3.
函数的变化快慢与导数的关系.