5.1.1 变化率问题 教案-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 5.1.1 变化率问题 教案-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-02 22:06:39 | ||
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文档简介
第五章
一元函数的导数及其应用
5.1
导数的概念及其意义
5.1.1
变化率问题
教学设计
一、教学目标
1.
通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程；
2.
体会曲线割线与切线的斜率；
二、教学重难点
1.
教学重点
平均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法.
2.
教学难点
平均速度与瞬时速度、曲线割线与切线斜率的概念以及两者之间的关系.
三、教学过程
（一）新课导入
问题：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
（二）探索新知
运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.
例如，在这段时间里，；
在这段时间里，.
一般地，在这段时间里，.
思考：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
（学生思考，举手回答，教师讲解）
我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
思考：瞬时速度与平均速度有什么关系？利用这种关系求运动员在时的瞬时速度.
（学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师总结、讲解）
设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.
为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当时，在1之后；当时，在1之前.当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）.
表5.1-1
当时，在时间段内
当时，在时间段内
……
……
思考：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？
当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于.
事实上，由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致.数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.因此，运动员在时的瞬时速度.
问题：如何定义抛物线在点处的切线？
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.
如上图，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是.于是，割线的斜率.
我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）.
表5.1-2
……
……
当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2.
事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2.我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.
（三）课堂练习
1.若质点按照规律运动，则在时的瞬时速度为(
)
A.6
B.18
C.54
D.81
答案：B
解析：由题可得.故选B.
2.某物体沿水平方向运动，其前进距离(米)与时间(秒)的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为(
)
A.18米/秒
B.13米/秒
C.9米/秒
D.米/秒
答案：C
解析：该物体在运动前2秒的平均速度为(米/秒).故选C.
3.在曲线上取一点及附近一点，则曲线在点处的切线的斜率为(
)
A.
B.2
C.
D.
解析：设，则.故选B.
4.已知曲线上两点，当时，割线的斜率为__________________.
答案：
解析：设，则，
则，
当时，割线的斜率.
（四）小结作业
小结：平均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法.
作业：
四、板书设计
5.1.1
变化率问题
1.
.平均速度、瞬时速度的概念及求法；
2.
曲线割线与切线斜率的求法.
一元函数的导数及其应用
5.1
导数的概念及其意义
5.1.1
变化率问题
教学设计
一、教学目标
1.
通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程；
2.
体会曲线割线与切线的斜率；
二、教学重难点
1.
教学重点
平均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法.
2.
教学难点
平均速度与瞬时速度、曲线割线与切线斜率的概念以及两者之间的关系.
三、教学过程
（一）新课导入
问题：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
（二）探索新知
运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.
例如，在这段时间里，；
在这段时间里，.
一般地，在这段时间里，.
思考：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
（学生思考，举手回答，教师讲解）
我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
思考：瞬时速度与平均速度有什么关系？利用这种关系求运动员在时的瞬时速度.
（学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师总结、讲解）
设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.
为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当时，在1之后；当时，在1之前.当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）.
表5.1-1
当时，在时间段内
当时，在时间段内
……
……
思考：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？
当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于.
事实上，由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致.数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.因此，运动员在时的瞬时速度.
问题：如何定义抛物线在点处的切线？
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.
如上图，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是.于是，割线的斜率.
我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）.
表5.1-2
……
……
当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2.
事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2.我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.
（三）课堂练习
1.若质点按照规律运动，则在时的瞬时速度为(
)
A.6
B.18
C.54
D.81
答案：B
解析：由题可得.故选B.
2.某物体沿水平方向运动，其前进距离(米)与时间(秒)的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为(
)
A.18米/秒
B.13米/秒
C.9米/秒
D.米/秒
答案：C
解析：该物体在运动前2秒的平均速度为(米/秒).故选C.
3.在曲线上取一点及附近一点，则曲线在点处的切线的斜率为(
)
A.
B.2
C.
D.
解析：设，则.故选B.
4.已知曲线上两点，当时，割线的斜率为__________________.
答案：
解析：设，则，
则，
当时，割线的斜率.
（四）小结作业
小结：平均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法.
作业：
四、板书设计
5.1.1
变化率问题
1.
.平均速度、瞬时速度的概念及求法；
2.
曲线割线与切线斜率的求法.