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1.全称量词和全称量词命题
(1)短语"所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
(2)将含有变量x的语句用p(x),
q(x),
r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示。那么，全称量词命题“对M中任意一个x,
,p(x)成立”可用符号简记为：
2.存在量词和存在量词命题
(1)短语“存在一个”
“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
(2)存在量词命题“存在M中的元素x,
p(x)成立”可用符号简记为：
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
(1)?全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”
“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“”，则它的否定为“并非”,也就是"不成立”。通常，用符号"”表示"p(x)不成立".
(2)?对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题：，
它的否定：,
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”
“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一
个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“”?,则它的否定为“不存在,使p(x)成立”，也就是“不成立”.
(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题：它的否定：
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
4.命题的交集与并集
(1)p∧q是命题p且q的意思，其含义是取两个的共同部分(交集)；命题p∧q的真假与p和q的真假有关，当p和q都是真命题时，p∧q为真命题，其他均为假命题；
(2)pvq是命题p或q的意思，琪含义是取两个的全部(并集)；当p和q都是假命题时，命题pvq为假命题，其他均为真命题。
(3)p∧q是假命题，pvq为真命题等同于p与q一真一假。
一、选择题
1.下列命题为存在量词命题的是(
)
A.二次函数的图象与y轴都有交点
B.正方体都是长方体
C.不平行的两条直线都是相交直线
D.存在实数大于或等于2
2.(2019·全国高一课时练习)下列命题中，全称量词命题的个数为(
)
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边的长度不相等；
③存在一个菱形，它的四条边不相等；④高二(1)班绝大多数同学是团员.
A.0
B.1
C.2
D.3
3.下列语句为真命题的是(
)
A.所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立
B.存在一个实数x使不等式x2-3x+6<0成立
C.在平面内，存在一条直线与等腰梯形的两腰都垂直
D.在平面内，有无数条直线和平行四边形的四边都垂直
4.命题：，；命题：，.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.或
D.或
5.命题“，”的否定是(
).
A.，
B.，
C.，
D.，
6.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.(《2020年高考一轮复习讲练测》)已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是(
)
A.
B.
C
.
D.
8.p：?x∈R，x2≥0的否定是(
)
A.p：?x∈R，x2<0
B.p：?x∈R，x2≤0
C.p：?x∈R，x2<0
D.p：?x∈R，x2≤0
9.已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
10.(河南省高中毕业班阶段性测试(四)理科数学试)关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
1.下面命题正确的是(
)
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“若,则”的否定是“存在,则”.
C.设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D.设,则“”是“”的必要不充分条件
三、填空题
1.命题“若且，则.”的否命题是________
2.(2020·全国高一课时练习)“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，则集合_____；
3.(2020·全国高一课时练习)“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________；
4.(2020·浙江高一课时练习)命题，若“非p”为真命题，则m的取值范围是_________.
5.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
1.已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围.
2.已知命题存在实数，使成立.
(1)若命题P为真命题，求实数a的取值范围；
(2)命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.
3.已知命题“，不等式”成立是假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)若是集合的充分不必要条件，求实数的取值范围.
4.已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
5.设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
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1.全称量词和全称量词命题
(1)短语"所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
(2)将含有变量x的语句用p(x),
q(x),
r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示。那么，全称量词命题“对M中任意一个x,
,p(x)成立”可用符号简记为：
2.存在量词和存在量词命题
(1)短语“存在一个”
“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
(2)存在量词命题“存在M中的元素x,
p(x)成立”可用符号简记为：
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
(1)?全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”
“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“”，则它的否定为“并非”,也就是"不成立”。通常，用符号"”表示"p(x)不成立".
(2)?对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题：，
它的否定：,
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”
“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一
个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“”?,则它的否定为“不存在,使p(x)成立”，也就是“不成立”.
(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题：它的否定：
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
4.命题的交集与并集
(1)p∧q是命题p且q的意思，其含义是取两个的共同部分(交集)；命题p∧q的真假与p和q的真假有关，当p和q都是真命题时，p∧q为真命题，其他均为假命题；
(2)pvq是命题p或q的意思，琪含义是取两个的全部(并集)；当p和q都是假命题时，命题pvq为假命题，其他均为真命题。
(3)p∧q是假命题，pvq为真命题等同于p与q一真一假。
一、选择题
1.下列命题为存在量词命题的是(
)
A.二次函数的图象与y轴都有交点
B.正方体都是长方体
C.不平行的两条直线都是相交直线
D.存在实数大于或等于2
【答案】D【解析】本题考查存在量词命题的概念.命题“存在实数大于或等于2”含有存在量词.
2.(2019·全国高一课时练习)下列命题中，全称量词命题的个数为(
)
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边的长度不相等；
③存在一个菱形，它的四条边不相等；④高二(1)班绝大多数同学是团员.
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题；
②可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等”，为全称量词命题；③为存在量词命题；
④可改写为“高二(1)班有的同学不是团员”，为存在量词命题；全称量词命题为：①②本题正确选项：C
3.下列语句为真命题的是(
)
A.所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立
B.存在一个实数x使不等式x2-3x+6<0成立
C.在平面内，存在一条直线与等腰梯形的两腰都垂直
D.在平面内，有无数条直线和平行四边形的四边都垂直
【答案】A【解析】本题考查含有量词的命题真假判断.Δ<0，x2-3x+6>0对x∈R恒成立，故排除B项；假设存在这样的直线与两条相交直线垂直，则两条直线必平行，故排除C，D项.
4.命题：，；命题：，.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.或
D.或
【答案】C
【解析】若恒成立，则判别式，得，即：，
若，，则判别式，
得，得或，即：或，
若为假命题，为真命题，则，一个为真命题，一个为假命题，
若真假，则，得，若假真，则，得或，
综上或，故选C.
5.命题“，”的否定是(
).
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】A
【解析】由特称命题的否定知，命题“，”的否定是“，”.故答案为：A.
6.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是.故选B.
7.(《2020年高考一轮复习讲练测》)已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是(
)
A.
B.
C
.
D.
【答案】D【解析】由题意知：可化简为，，
所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.
8.p：?x∈R，x2≥0的否定是(
)
A.p：?x∈R，x2<0
B.p：?x∈R，x2≤0
C.p：?x∈R，x2<0
D.p：?x∈R，x2≤0
【答案】C【解析】本题考查全称量词命题的否定.因为命题是全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题的否定：?x∈R，x2<0.
9.已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由，即，解得，由得，
若是的充分不必要条件，则，解得，实数的取值范围为，故选：C.
10.(河南省高中毕业班阶段性测试(四)理科数学试)关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时；
当时，不等式的解集为，，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得，此时.综上所述，.故选：D.
二、多选题
1.下面命题正确的是(
)
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“若,则”的否定是“存在,则”.
C.设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D.设,则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以本选项是正确的；
选项B:根据命题的否定的定义可知：命题“若,则”的否定是“存在,则”.所以本选项是正确的；
选项C:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；
选项D:因为可以等于零,所以由不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.故选ABD
三、填空题
1.命题“若且，则.”的否命题是________
【答案】若a≠1或b≠2，则a+b≥5
【解析】根据复合命题中且命题的否定,及否命题的定义可知“若且,则.”的否命题是若或,则,故答案为:若或,则.
2.(2020·全国高一课时练习)“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，则集合_____；
【答案】
【解析】方程有两个不同的实数解，当时，方程只有一个解，不符合条件，所以且，解得，所以答案为.
3.(2020·全国高一课时练习)“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________；
【答案】【解析】因为，即的最小值为1，要使“恒成立”，只需，即，所以答案为“”.
4.(2020·浙江高一课时练习)命题，若“非p”为真命题，则m的取值范围是_________.
【答案】.
【解析】由题意知，命题为假，即恒成立，所以，所以，所以.故答案为：.
5.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】∵命题“，”是假命题，∴，是真命题，
即使不等式有解；所以，解得：或.
∴实数a的取值范围是.故答案为：.
四、解答题
1.已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】命题“，使得”为假命题，则其否定命题“，”为真命题
当时，集合，符合
当时，因为，所以，得对于恒成立
所以，则综上，实数的取值范围为.
2.已知命题存在实数，使成立.
(1)若命题P为真命题，求实数a的取值范围；
(2)命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)存在实数，使成立或，
实数a的取值范围为；
(2)任意实数，使恒成立，，，，
由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围.
3.已知命题“，不等式”成立是假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)若是集合的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)【解析】因为命题“，不等式”成立是假命题，
所以命题的否定“，不等式”成立是真命题，
即，解得，集合.
(2)【解析】因为，即，所以，
因为是集合的充要不必要条件，
所以令集合，集合是集合的真子集，
即，解得，实数的取值范围是.
4.已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)【解析】若，则，解得.
因此，当时，，则实数的取值范围是；
(2)【解析】由，得，解得，即，
，，且是的充分不必要条件，?，
当时，即，解得，满足题意；
当时，由?，可得，解得.
当时，，，则?成立.
综上所述，实数的取值范围为.
5.设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)或..
【解析】(1)对于命题：成立，而，有，
所以，∴.
(2)对于命题：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则或，为真命题，则.所以.
综上：或.
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