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等式的性质与不等式的性质一
1.不等关系：不等关系常用不等式来表示，
2.两个实数大小的比较：
（1）；（2）；（3）。
3.作差比较法步骤：(1)
作差;(2)整理;(3)判断符号;(4)下结论。
4.重要不等式：一般地，
等式的性质与不等式的性质二
1.等式的性质
(1)
性质1
如果a＝b，那么b＝a；
(2)
性质2
如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)
性质3
如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)
性质4
如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)
性质5
如果a＝b，c≠0，那么＝.
2.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)
3.关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，常用的结论：(1)a>b，ab>0?<；
(2)若a>b>0，m>0，
<
利用不等式性质判断命题真假
例1：（2020·浙江高一课时练习）对于实数，判断下列命题的真假．
（1）若，则．
（2）若，则．．
（3）若，则．
（4）若，则．
（5）若，，则．
利用不等式性质证明简单不等式
例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.．
利用不等式的性质求取值范围
例3：(1)已知2
（2） 已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
一、选择题
1.下列说法不正确的是(
)
A.若，则
B.若，，则
C.若，则
D.若，则
2.若，把中最大与最小者分别记为和，则(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知，则的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知，则下列命题正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.若，则下列四个数中最小的数是(
)
A.
B.
C.
D.
6.设，与的大小关系(
)
A.
B.
C.
D.
7.设，则A与B的大小关系是(
)
A.
B.
C.仅有时，
D.以上结论都不成立
8.已知实数，满足，，则a=的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
9.已知，，则的取值范围是(
)
A.(1,2)
B.(5,9)
C.
D.(4,5/16)
二、填空题
1.已知实数，则_____，_____(用>，<填空).
2.设，，，则a，b，c之间的大小关系为__________
3.若，则的取值范围为________.
4.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
.
5.已知，则的取值范围为_____.
三、解答题
1.设.(1)当时，比较的大小；(2)当时，比较的大小.
2.若实数满足求的取值范围.
3.已知，.求
(1)的取值范围；(2)的取值范围.
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件.
(1)该函数图象过原点；
(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4；求当x＝－2时，y的取值范围.
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等式的性质与不等式的性质一
1.不等关系：不等关系常用不等式来表示，
2.两个实数大小的比较：
（1）；（2）；（3）。
3.作差比较法步骤：(1)
作差;(2)整理;(3)判断符号;(4)下结论。
4.重要不等式：一般地，
等式的性质与不等式的性质二
1.等式的性质
(1)
性质1
如果a＝b，那么b＝a；
(2)
性质2
如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)
性质3
如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)
性质4
如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)
性质5
如果a＝b，c≠0，那么＝.
2.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)
3.关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，常用的结论：(1)a>b，ab>0?<；
(2)若a>b>0，m>0，
<
利用不等式性质判断命题真假
例1：（2020·浙江高一课时练习）对于实数，判断下列命题的真假．
（1）若，则．
（2）若，则．．
（3）若，则．
（4）若，则．
（5）若，，则．
【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题.
【解析】（1）由于c的符号未知，因而不能判断与的大小，故该命题是假命题．
（2），，，，故该命题为真命题．
（3）,又,故该命题为真命题．
（4），，，．故该命题为真命题．
（5）由已知条件，得，，．又，．故该命题为真命题．
利用不等式性质证明简单不等式
例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，得＜.
又e＜0，∴＞.
利用不等式的性质求取值范围
例3：(1)已知2【答案】－8【解析】∵3≤b<10，∴－10<－b≤－3.又2（2） 已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
【答案】5≤4a－2b≤10
【解析】 令a＋b＝μ，a－b＝v，则2≤μ≤4,1≤v≤2.由解得
因为4a－2b＝4·－2·＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，而2≤μ≤4,3≤3v≤6，所以5≤μ＋3v≤10.
所以5≤4a－2b≤10.
一、选择题
1.下列说法不正确的是(
)
A.若，则
B.若，，则
C.若，则
D.若，则
【答案】C
【解析】对于选项A：若，则，，所以，故选项A正确；
对于选项B：若，，则，故选项B正确；对于选项C：若，则，故选项C不正确；对于选项D：因为在上单调递增，若，则，故选项C正确；故选：C
2.若，把中最大与最小者分别记为和，则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】答案：A
【解析】因为，所以取，可以验证最大者为，最小者为.
3.已知，则的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，所以，又，所以，，易得，因此，，故选：D.
4.已知，则下列命题正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】答案：C【解析】由，得，，故选C.
5.若，则下列四个数中最小的数是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D【解析】因为，所以，，，，所以四个数中最小的数是.故选：D
6.设，与的大小关系(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B【解析】.，
则可知.
那么可知，可得到，故选B.
7.设，则A与B的大小关系是(
)
A.
B.
C.仅有时，
D.以上结论都不成立
【答案】D【解析】，令，得或，令，得，所以的大小不确定.
8.已知实数，满足，，则a=的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B【解析】令，，,则
又，因此，故本题选B.
9.已知，，则的取值范围是(
)
A.(1,2)
B.(5,9)
C.
D.(4,5/16)
【答案】C【解析】因为，，，
所以，，，故的取值范围是，故选：C.
二、填空题
1.已知实数，则_____，_____(用>，<填空).
【答案】故答案为＜；＜.【解析】∵，∴，∴，∴.
，∴.
2.设，，，则a，b，c之间的大小关系为__________
【答案】
【解析】，，，.
故答案为：.
3.若，则的取值范围为________.
【答案】答案：
【解析】，，又。.
4.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
.
【答案】{z|3≤z≤8};
【解析】∵z＝2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴z的取值范围是{z|3≤z≤8}.
5.已知，则的取值范围为_____.
【答案】[﹣9，0]
【解析】∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].故答案为：[﹣9，0]
三、解答题
1.设.(1)当时，比较的大小；(2)当时，比较的大小.
【答案】(1)；(2)见解析
【解析】(1)当时，，则，所以.
(2)，
①当时，，则；②当时，，则；
③当时，，则.
2.若实数满足求的取值范围.
【答案】【解析】令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n,则解得
因此3m+4n=(2m+3n)+(m-n).由-1≤2m+3n≤2得≤(2m+3n)≤.
由-33.已知，.求(1)的取值范围；(2)的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】解：(1)因为，所以，
所以，即.
(2)因为，，所以，，
所以.
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件.
(1)该函数图象过原点；
(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4；求当x＝－2时，y的取值范围.
【答案】解∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过原点，∴c＝0，∴y＝ax2＋bx.
又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①；当x＝1时，3≤a＋b≤4，②∴当x＝－2时，y＝4a－2b.
设存在实数m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∴解得m＝1，n＝3，∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b).
由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.即6≤4a－2b≤10，
故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.
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