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公式的基本应用：考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。
例1：（2020·全国高一课时练习）已知，求函数的最小值是
（
)
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D【解析】由，即，所以，时取“=”，
条件型（乘K法）：和为定值K，求倒数和的最小值，采用乘K法
例2：（2020·哈尔滨德强学校高一期末）已知实数，，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】∵，，
当且仅当，即，时取等号.故选B
配凑型：
1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分母同除一次函数
2.给出等式但是不符合条件型，则从分母入手，分母相加减可得到等式的关系的倍数，即降次-配凑-均值不等式
例3：（2019·四川高一期末）已知正数、满足，则的最小值为
【答案】【解析】，所以，，
则，所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：．
换元法
例4：（2019·河北路南.唐山一中高三期中（文））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是(
)
A．3
B．4
C．
D．
【答案】B【解析】考察均值不等式，整理得即，又，
求参数
例5：（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】.若，则，从而无最小值，不合乎题意；若，则，.①当时，无最小值，不合乎题意；
②当时，，则不恒成立；
③当时，，当且仅当时，等号成立.所以，，解得，因此，实数的最小值为.故选：C.
一、选择题
1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(
)
A.x≥2y
B.x>2y
C.x≤2y
D.x<2y
【答案】B
2.下列不等式一定成立的是(
)
A.x+≥2(x≠0)
B.x2+≥1(x∈R)
C.x2+1≤2x(x∈R)
D.x2+5x+6≥0(x∈R)
【答案】B
3.已知正实数x，y满足.则的最小值为(
)
A.4
B.
C.
D.
【答案】D【解析】解：由，得，
因为x，y为正实数，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：D
4.若0
)
A.a2+b2
B.2
C.2ab
D.a+b
【答案】D
5.(2020·全国高一课时练习)函数的最小值为(
)
A.3
B.2
C.
D.
【答案】A
【解析】，则，，当时取“=”，所以正确选项为A.
6.(2020·全国高一课时练习)已知，则有
A.最大值
B.最小值
C.最大值1
D.最小值1
【答案】D
【解析】，当且仅当即时取等号，故选：.
7.(2020·全国高一课时练习)若，则的最大值是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A【解析】，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A
8.(2020·上海高一开学考试)已知，函数的最小值是(
)
A.5
B.4
C.8
D.6
【答案】D【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.
9.(2020·全国高一课时练习)若，则的最小值是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】则，，当时取“=”，所以正确选项为C
10.(2020·全国高一课时练习)已知实数，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D【解析】，正确选项为D
11.(2020·西夏.宁夏大学附属中学高二月考(文))若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C【解析】由题意，两个正实数x，y满足，，
当且仅当，即时，等号成立，
又由恒成立，可得，即，解得，
即实数m的取值范围是.故选：C.
12.(2020·浙江高三月考)已知实数满足，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设，则，，，
则，，，
设，则，，解得，
的最小值为.故选：B
13.(2020·黑龙江工农.鹤岗一中高一期末(理))若正数满足，则的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为，化简可得，左右两边同时除以xy得,求的最大值，即求的最小值.所以，当且仅当时取等号所以的最大值为所以选A
14.(2020·江西高一期末)已知a，，且满足，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵，∴.即.
当且仅当时取等号.∴的最小值为故选：C
15.(2020·河北路南.唐山一中高一期中)若对于任意恒成立，则a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为，所以，因为，所以(当且仅当时取等号)，
则，即的最大值为，故.故选：
16.(2020·全国高一课时练习)将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是(
)
A.6.5m
B.6.8m
C.7m
D.7.2m
【答案】C
【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x，y(x＞0，y＞0)则xy＝4，
此时三角形框架的周长C为：x+y+＝x+y+
∵x+y≥2＝4∴C＝x+y+≥4+2≈6.83故用7米的铁丝最合适.故选C.
二、填空题
1.(2020·全国高一课时练习)已知，，则的最小值为_______________；
【答案】
【解析】采用常数1的替换，，
当即时等号成立，所以答案为.
2.（2020·全国高一课时练习）已知函数在时取得最小值，则________．
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当即，由题意，解得
3.（2020·全国高一专题练习）设，求的最大值
.
【答案】1
【解析】∵，∴∴所以
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为
4.(2020·衡水市第十三中学高一月考)已知，则的最小值是________.
【答案】5
【解析】当时，，，
当且仅当，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.
故答案为：.
5.(2020·全国高一课时练习)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为_____________；
【答案】20吨
【解析】由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨。
三、解答题
1.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
【答案】解:因为x>0,y>0,所以30=x+2y+xy≥2+xy,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时,等号成立.
所以xy+2-30≤0.
令t=,则t>0,t2+2t-30≤0,(t+5)(t-3)≤0,所以-5≤t≤3.
又因为t>0,所以0<≤3,所以02.已知a，b都是正数，求证：．
【解析】∵，∵由均值不等式得，．
由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立．
3.(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最大值.
【答案】解析：(1)因为，所以，所以，
所以当且仅当，即，函数的最大值为.
(2)因为，所以，所以，
当且仅当，即时，的最大值为
4.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
【答案】【解析】(1)由已知可得，而篱笆总长为；
又因为，当且仅当，即时等号成立.
所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.
(2)由已知得，
又因为，所以，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.
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精品试卷·第
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公式的基本应用：考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。
例1：（2020·全国高一课时练习）已知，求函数的最小值是
（
)
A．4
B．3
C．2
D．1
条件型（乘K法）：和为定值K，求倒数和的最小值，采用乘K法
例2：（2020·哈尔滨德强学校高一期末）已知实数，，，则的最小值是（
）
B．
C．
D．
配凑型：
1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分母同除一次函数
2.给出等式但是不符合条件型，则从分母入手，分母相加减可得到等式的关系的倍数，即降次-配凑-均值不等式
例3：（2019·四川高一期末）已知正数、满足，则的最小值为
换元法
例4：（2019·河北路南.唐山一中高三期中（文））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是(
)
A．3
B．4
C．
D．
求参数
例5：（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
一、选择题
1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(
)
A.x≥2y
B.x>2y
C.x≤2y
D.x<2y
2.下列不等式一定成立的是(
)
A.x+≥2(x≠0)
B.x2+≥1(x∈R)
C.x2+1≤2x(x∈R)
D.x2+5x+6≥0(x∈R)
3.已知正实数x，y满足.则的最小值为(
)
A.4
B.
C.
D.
4.若0)
A.a2+b2
B.2
C.2ab
D.a+b
5.(2020·全国高一课时练习)函数的最小值为(
)
A.3
B.2
C.
D.
6.(2020·全国高一课时练习)已知，则有
A.最大值
B.最小值
C.最大值1
D.最小值1
7.(2020·全国高一课时练习)若，则的最大值是(
)
A.
B.
C.
D.
8.(2020·上海高一开学考试)已知，函数的最小值是(
)
A.5
B.4
C.8
D.6
9.(2020·全国高一课时练习)若，则的最小值是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
10.(2020·全国高一课时练习)已知实数，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
11.(2020·西夏.宁夏大学附属中学高二月考(文))若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
12.(2020·浙江高三月考)已知实数满足，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
13.(2020·黑龙江工农.鹤岗一中高一期末(理))若正数满足，则的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
14.(2020·江西高一期末)已知a，，且满足，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
15.(2020·河北路南.唐山一中高一期中)若对于任意恒成立，则a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
16.(2020·全国高一课时练习)将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是(
)
A.6.5m
B.6.8m
C.7m
D.7.2m
二、填空题
1.(2020·全国高一课时练习)已知，，则的最小值为_______________；
2.（2020·全国高一课时练习）已知函数在时取得最小值，则________．
3.（2020·全国高一专题练习）设，求的最大值
.
4.(2020·衡水市第十三中学高一月考)已知，则的最小值是________.
5.(2020·全国高一课时练习)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为_____________；
三、解答题
1.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
2.已知a，b都是正数，求证：．
3.(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最大值.
4.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
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