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一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是。
二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点。
3.一元二次不等式的解与解集：使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解集，其解的集合，称为一元二次不等式的解集。
4.
解一元二次不等式常用的方法
（1）因式分解法：一般地，如果，则不等式的解集是；不等式的解集是。
（2）配方法：一元二次不等式通过配方总是可以变为的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。
（3）判别式法：
5.
三个“二次”的关系
一元二次方程恒成立问题
一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，利用判别式来求解；
一元二次不等式f(x)≥0在上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值等于0，从而求参数的范围。
一元二次不等式对于参数恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。
一、选择题
1.(2020·吉林省实验高一期末)不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.或
【答案】A
【解析】由得：，恒成立，又，
，不等式的解集为
2.(2020·四川省三台中学高一月考)不等式的解集是(
)
A.
B.或
C.
D.或
【答案】B
【解析】与不等式对应的一元二次函数为：，如图函数开口向上，与轴的交点为：，，可得不等式的解集为：或.
3.【贵州省铜仁市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是(
)
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】C
【解析】因为的定义域为，所以恒成立，则，故选:C。
4.(2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末)不等式对于一切成立，则的最小值为(
)
A.
B.
C.2
D.
【答案】B
【解析】记，不等式对于一切成立，则必须有，
解得，时，，在上单调递减，，满足题意，∴的最小值是.
5.若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】不等式的解集为，假设的解集为空集，则不等式的解集为集合或的子集，因为函数的图象的对称轴方程为，所以必有，则使的解集不为空集的的取值范围是，故选B.
6.【山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高一期末】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】时，不等式可化为；当时，不等式为，满足题意；
当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即；
当时，恒成立；综上所述，实数的取值范围是。答案选A。
7.(2019·天津市双菱中学高一月考)一元二次不等式的解集是，则的值是(
)
A.10
B.-10
C.14
D.-14
【答案】D【解析】解：根据题意，一元二次不等式的解集是，
则方程的两根为和，则有，解可得，，则，故选：.
8.【河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高一期末】已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A【解析】欲使不等式的解集为空集，即函数的图像与轴无交点或只有一个交点，则，解得，故选A项.
9.【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一期末】关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B【解析】原不等式可化为，
若m≤1，则不等式的解是，，不等式的解集中不可能有4个正整数，
所以，不等式的解是，；所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；令，解得；所以的取值范围是，.故选：B.
10.【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】关于的不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由，即,不等式对应方程的两个根，所以不等式的解集是.故选：A.
11.【山西省运城市景胜中学2020-2021学年高一上学期9月月考】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】(1)当或时，，不等式为，
若不等式恒成立，必需所以；
(2)当时，，不等式为
即，
(ⅰ)当时，不等式对任意恒成立，
(ⅱ)当时，不等式恒成立即恒成立，
所以，解得，
(ⅲ)当时，不等式恒成立即恒成立，
所以，解得
综上，实数的取值范围是
12.【湖北省孝感市汉川市第一高级中学2019-2020学年高一期末】设函数，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立，则实数m的取值范围为(
)
A.m≤0
B.0≤m<
C.m<0或0
D.m<
【答案】D
【解析】若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立,即可知：mx2－mx＋m－5<0在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立
令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为,当m＝0时，－5<0恒成立;当m<0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减,∴在[1,3]上，得m<5，故有m<0,当m>0时，有g(x)开口向上且在[1,3]上单调递增
∴在[1,3]上，得,综上，实数m的取值范围为.故选：D
二、多选题
1.(2020·江苏省高一期末)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】ABCD
【解析】解：对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为，，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；若，不等式的解集为，若，
不等式的解集为，
综上，都成立，故选：.
2.(2019·辽宁省高一月考)已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】∵正数，满足，∴，即的最大值为，当且仅当时，取等号.
∵的解集为，∴.
三、填空题
1.若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.
【解析】不等式有解等价于有解，所以，故或，填.【答案】
2.(2020·上海市洋泾中学高一期中)已知集合各元素之和等于3，则实数_____.
【答案】或
【解析】由题意知：中元素，即为的解，
∴或，可知：或
∴当时，；当时，，∴或，
3.(2020·北京人大附中高一期中)设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为、是关于的方程的两个实数根，
所以，解得，所以，，
所以的最小值为。
4.(2020·北京八中高一月考)已知方程有两个不等正根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】有两个不等正根，则，解得.
5.【黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高一期末】若关于x的不等式ax2+(3﹣a)x+1＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_____.
【答案】.
【解析】时，不等式为，在上不恒成立，时，，解得.
故答案为：.
6.【内蒙古包头市2019-2020学年高一期末】若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是
.
【答案】
【解析】若,则,有实数根,故,由题设,即,解之得或,故应填.
7.【浙江省丽水市2018-2019学年高一期末】设，若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____.
【答案】
【解析】不等式等价于：①或②
若不等式对任意的恒成立，则不等式的解集必须包含.
①，当时，①的解不包含0，而中有0，与题意不符；当时，①的解为且，不包含，与题意不符.
②若不等式的解集包含，必须即所以，当时，有最大值.
8.【上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末】已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，构造函数f(x)=x2+kx+k2+k-4，，
∵一根大于2，一根小于2，∴f(2)<0，∴4+2k+k2+k?4<0，∴解得?3四、解答题
1.已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
【答案】解：(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}.
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0∴原不等式的解集为.
②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?.
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式可化为(x＋1)2>0，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}.
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R.
2.【四川省眉山市2019-2020学年高一期末】已知不等式解集为.
(1)求，的值并求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)；；(2)答案见解析.
【解析】(1)由题意知，1和是方程的两根，则，解得
不等式即为，解得，∴
(2)不等式，即为，即.
①当时，；②当时，；③当时，原不等式无解.
综上知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
3.【黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高一期末】已知函数，，.
当时，求满足的的取值范围；
解关于的不等式；
若对于任意的，均成立，求的取值范围.
【答案】；当时，解集为；当时，解集为空集；
当时，解集为；.
【解析】当时，，所以，即，解得.
所以的解集为.
由，得，所以，
当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为.
因为对于任意的，恒成立，即对任意的时，
成立，
根据二次函数的性质可知，对称轴，所以，解得.
所以的取值范围是.
4.(2020·浙江省高一期末)已知集合.
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ)已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】【解析】(Ⅰ)由题意可知，和是方程的两个根，
所以由韦达定理得，故实数.
(Ⅱ)由，原不等式可化为，所以在上恒成立，
令，因为，所以，所以不等式恒成立等价于，故由，解得：，故实数的取值范围为：.
5.(2020·北京人大附中高一月考)已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.
(1)若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；
(2)若两根均大于1，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)设方程的根为
则
或(舍)，即；
(2)设
由题意得：且，
即实数m的取值范围为
6.已知二次函数y=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5.
(1)求函数y=x2+mx-6(m>0)的解析式;
(2)解关于x的不等式y<4-2x.
【答案】解:(1)由题意,得x2+mx-6=0(m>0)的两个根为x1和x2,
由根与系数的关系,得
故=-4x1x2=m2+24=25,
故m2=1.因为m>0,所以m=1,故y=x2+x-6.
(2)由y<4-2x,得x2+x-6<4-2x,
所以x2+3x-10<0,即(x+5)(x-2)<0,解得-5故不等式的解集是{x|-521世纪教育网
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一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是。
二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点。
3.一元二次不等式的解与解集：使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解集，其解的集合，称为一元二次不等式的解集。
4.
解一元二次不等式常用的方法
（1）因式分解法：一般地，如果，则不等式的解集是；不等式的解集是。
（2）配方法：一元二次不等式通过配方总是可以变为的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。
（3）判别式法：
5.
三个“二次”的关系
一元二次方程恒成立问题
一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，利用判别式来求解；
一元二次不等式f(x)≥0在上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值等于0，从而求参数的范围。
一元二次不等式对于参数恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。
一、选择题
1.(2020·吉林省实验高一期末)不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.或
2.(2020·四川省三台中学高一月考)不等式的解集是(
)
A.
B.或
C.
D.或
3.【贵州省铜仁市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是(
)
A.，
B.，
C.，
D.，
4.(2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末)不等式对于一切成立，则的最小值为(
)
A.
B.
C.2
D.
5.若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
6.【山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高一期末】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.(2019·天津市双菱中学高一月考)一元二次不等式的解集是，则的值是(
)
A.10
B.-10
C.14
D.-14
8.【河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高一期末】已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
9.【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一期末】关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
10.【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】关于的不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
11.【山西省运城市景胜中学2020-2021学年高一上学期9月月考】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
12.【湖北省孝感市汉川市第一高级中学2019-2020学年高一期末】设函数，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立，则实数m的取值范围为(
)
A.m≤0
B.0≤m<
C.m<0或0D.m<
二、多选题
1.(2020·江苏省高一期末)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为(
)
A.
B.
C.
D.
2.(2019·辽宁省高一月考)已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则(
)
A.
B.
C.
D.
三、填空题
1.若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.
2.(2020·上海市洋泾中学高一期中)已知集合各元素之和等于3，则实数_____.
3.(2020·北京人大附中高一期中)设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
4.(2020·北京八中高一月考)已知方程有两个不等正根，则实数的取值范围是______.
5.【黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高一期末】若关于x的不等式ax2+(3﹣a)x+1＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_____.
6.【内蒙古包头市2019-2020学年高一期末】若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是
.
7.【浙江省丽水市2018-2019学年高一期末】设，若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____.
8.【上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末】已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
1.已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
2.【四川省眉山市2019-2020学年高一期末】已知不等式解集为.
(1)求，的值并求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
3.【黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高一期末】已知函数，，.
当时，求满足的的取值范围；
解关于的不等式；
若对于任意的，均成立，求的取值范围.
4.(2020·浙江省高一期末)已知集合.
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ)已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
5.(2020·北京人大附中高一月考)已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.
(1)若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；
(2)若两根均大于1，求实数m的取值范围.
6.已知二次函数y=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5.
(1)求函数y=x2+mx-6(m>0)的解析式;
(2)解关于x的不等式y<4-2x.
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