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一、常数代换法
例1：已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．2
二、消元法
例2：设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z＝0，则的最小值是 ．
三、配凑法
1．从和或积为定值的角度入手配凑
某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．
例3：设x>0，y>0，x2＋＝1，求的最大值．
四、判别式法在“三个二次”问题中的应用
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．
1．求变量的取值范围
例4：不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
2．求最值
例5：已知正实数a，b满足a＋2b＋ab＝30，试求实数a，b为何值时，ab取得最大值．
3．证明不等式
例6：已知x，y∈R，证明：2x2＋2xy＋y2－4x＋5>0恒成立．
五、含变量的不等式恒成立问题
例7：对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．
一、选择题
1．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．或
D．
2．若函数的图象与轴没有交点，则的取值范围是
A．
B．
C．，，
D．
3．如果，那么下列不等式中恒成立的是
A．
B．
C．
D．
4．已知，则有（
）
A．最大值为1
B．最小值为
C．最大值为4
D．最小值为4
5．若，则（
）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
6．已知正数，满足，则的最小值为
A．5
B．
C．
D．2
7．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知动点的轨迹为直线在第一象限内的部分，则的最大值为
A．1
B．2
C．
D．4
二、多选题
1．下列命题中正确的是
A．的最大值是
B．的最小值是2
C．的最大值是
D．最小值是5
2．已知正数，满足，则（
）
A．有最大值
B．有最小值8
C．有最小值4
D．有最小值
三、填空题
1．若，则的最小值是___________.
2．若关于的不等式的解集为，，，则实数的取值为 ．
3．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
4．已知，且，，则的最小值为 ．
四、解答题
1．已知，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
2．已知，且.
（1）求的最大值；（2）求的最小值.
3．已知.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.
4．设函数．
（1）若对任意的，均有成立，求实数的取值范围；
（2）若，解关于的不等式．
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精品试卷·第
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1．比较数(式)的大小
依据：a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.
适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．
2．利用基本不等式证明不等式
(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．
(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．
(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．
3．利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．
②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．
③x与y必须能够相等(等号能够取到)．
(2)构造定值条件的常用技巧
①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．
4．解一元二次不等式的步骤
当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：
(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；
(3)由图象写出不等式的解集．
特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．
(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解．
5．一元二次不等式的实际应用
不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：
(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．
(2)简化假设：精选问题中的关键变量．
(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．
(4)求解：运用数学知识解相应不等式．
(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．
一、常数代换法
例1：已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2，
则2，所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：C．
二、消元法
例2：设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z＝0，则的最小值是 ．
【答案】3
【解析】∵x﹣2y+3z＝0，∴，∴，当且仅当x＝3z时取“＝”．
故答案为3．
三、配凑法
1．从和或积为定值的角度入手配凑
某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．
例3：设x>0，y>0，x2＋＝1，求的最大值．
【解析】∵x>0，y>0，x2与的和为定值，
∴＝＝，当且仅当，
即时取等号，即的最大值为.
四、判别式法在“三个二次”问题中的应用
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．
1．求变量的取值范围
例4：不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．
①若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3.
当m＝－1时，不符合题意；当m＝3时，符合题意．
②若m2－2m－3≠0，设y＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．
则m2－2m－3<0，Δ＝b2－4ac＝5m2－14m－3<0，
解得－2．求最值
例5：已知正实数a，b满足a＋2b＋ab＝30，试求实数a，b为何值时，ab取得最大值．
【解析】构造关于a的二次方程，应用“判别式法”．
设ab＝y， ①
由已知得a＋2b＋y＝30. ②
由①②消去b，整理得a2＋(y－30)a＋2y＝0， ③
对于③，由Δ＝(y－30)2－4×2y≥0，即y2－68y＋900≥0，解得y≤18或y≥50，又y＝ab＜30，故舍去y≥50，得y≤18.把y＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a2－12a＋36＝0，即a＝6，从而b＝3.
故当a＝6，b＝3时，ab取得最大值18.
3．证明不等式
例6：已知x，y∈R，证明：2x2＋2xy＋y2－4x＋5>0恒成立．
【解析】不等式可变形为y2＋2xy＋2x2－4x＋5>0，将不等式左边看作关于y的二次函数，
令z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，则关于y的一元二次方程y2＋2xy＋2x2－4x＋5＝0的根的
判别式Δ＝4x2－4(2x2－4x＋5)＝－4(x－2)2－4<0，即Δ<0.
则对于二次函数z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，其图象开口向上，且在x轴上方，所以z>0恒成立，
即2x2＋2xy＋y2－4x＋5>0恒成立．
五、含变量的不等式恒成立问题
例7：对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．
【解析】原不等式可化为x2＋px－4x－p＋3＞0，
令y＝x2＋px－4x－p＋3＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．
题设得解得x＞3或x＜－1.
故x的取值范围是x<－1或x>3.
一、选择题
1．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】A【解析】不等式变形为，即，
所以不等式的解集为：，即为.故选：A
2．若函数的图象与轴没有交点，则的取值范围是
A．
B．
C．，，
D．
【答案】D【解析】解：由题意得：△，解得：，故选：．
3．如果，那么下列不等式中恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】，．故选：．
4．已知，则有（
）
A．最大值为1
B．最小值为
C．最大值为4
D．最小值为4
【答案】C
【解析】因为，根据基本不等式可得，所以，即，
当且仅当时等号成立.故选：C
5．若，则（
）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】A【解析】解：∵，
又，，当且仅当即时等号成立，
，当且仅当时等号成立，故选：A．
6．已知正数，满足，则的最小值为
A．5
B．
C．
D．2
【答案】C【解析】解：，所以，，
则，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：．
7．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当时，即，此时恒成立，满足条件；
当时，因为对任意实数都成立，
所以，解得，综上可知，，故选：D.
8．已知动点的轨迹为直线在第一象限内的部分，则的最大值为
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B【解析】动点的轨迹为直线在第一象限内的部分，所以，
由基本不等式，解得，当且仅当时，等号成立，故的最大值为2．故选：．
二、多选题
1．下列命题中正确的是
A．的最大值是
B．的最小值是2
C．的最大值是
D．最小值是5
【答案】ACD
【解析】，，即，当且仅当取“
“，故选项正确；
，当且仅当时取“
“，矛盾，，
故选项错误；
，，当且仅当时取“
“，，
故选项正确；
，，，当且仅当时取“
“，
故选项正确；故选：．
2．已知正数，满足，则（
）
A．有最大值
B．有最小值8
C．有最小值4
D．有最小值
【答案】ACD
【解析】A：，则当且仅当，时取等号，正确；
B：，当且仅当时取等号，错误；
C：，当且仅当时取等号，正确；
D：，故最小值为，正确.
故选：ACD
三、填空题
1．若，则的最小值是___________.
【答案】【解析】因为，所以，所以，
当且仅当即时，取等号成立.故的最小值为，
故答案为：
2．若关于的不等式的解集为，，，则实数的取值为 ．
【答案】3【解析】不等式的解集为，，，
所以和是方程的解，且；
由根与系数的关系知，，解得，，所以实数的值为3．故答案为：3．
3．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．故答案为：
4．已知，且，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由于：（当且仅当等号成立）．故答案为：．
四、解答题
1．已知，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【解答】解：（1）恒成立，即恒成立，要△，
解得，故的取值范围为；
（2）原不等式可化为为，
当时，解得或，当时，解得，当时，解得或，
综上所述：当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，．
2．已知，且.（1）求的最大值；（2）求的最小值.
【答案】（1）最大值为；（2）最小值为5.
【解析】（1）因为所以，即
当且仅当取等号.
又，所以当时，的最大值为
（2）因为且.
当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5.
3．已知.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）当时，，即
，
，即，解得或，
∴原不等式的解集为或.
（2）当时恒成立，，即，
设，当且仅当时等号成立，.
4．设函数．（1）若对任意的，均有成立，求实数的取值范围；
（2）若，解关于的不等式．
【解答】解：（1）由题意得，对任意的成立，即对任意的成立，
①当时，显然不符合题意；②当时，只需，解得，综上：．
（2）由得，即，
①当时，解集为，②当时，解集为，
③当时，解集为．
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