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一、选择题
1.下列不等式中，正确的是
A.若，则
B.若，则
C.若，，，则
D.若，，，则
【答案】B
【解析】解：.得不出，比如，，该选项错误；
.，，.该选项正确；
.，，得不出，比如，，，，，，，该选项错误；
.，，得不出，比如，，，，，，.故选：.
2.已知正数，满足，则的最小值是(
)
A.10
B.20
C.15
D.25
【答案】B
【解析】因为正数，满足，所以，
当且仅当，即时，等号成立.故答案为：B.
3.(2020·浙江省高一期末)不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：因为，所以，解得，
所不等式的解集为，故选：A。
4.若，，且，则的最小值为
A.2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：(法一)可变形为，
所以
，
当且仅当即，时取等号，
(法二)原式可得，则，
当且仅当，即时取“”故选：.
5.“a>0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立,知a>0且Δ=b2-4ac<0.反之,当a>0时,如x2+3x+2>0,不一定成立.故选B.
6.不等式的解集为，则不等式的解集为(
)
A.或
B.
C.
D.或
【答案】A
【解析】不等式的解集为,的两根为，，且，即,解得则不等式可化为解得。
7.已知实数，满足，，则a=的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：令，，,则
又，因此，故本题选B.
8.设，为正数，且，则的最小值为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：，为正数，且，
则，
当且仅当且即，时取等号，故选：.
9.已知正数a、b满足的最小值是(
)
A.6
B.12
C.24
D.36
【答案】B【解析】解：∴a+b=ab;
当且仅当时取等号，∴，故选：B
10.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则的最小值是(
)
A.2
B.4
C.6
D.5
【解析】因为a,b为大于1的实数,所以>0,>0.
由a+b=ab可知ab-(a+b)=0,∴≥2=4,当且仅当时,等号成立.
∴解得(舍去).∴当b=,a=3时,取最小值4.【答案】B
11.函数f(x)=(x>0)的最小值是(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】由题意知,f(x)==x+1++1,因为x>0,所以x+1>0,则x+1++1≥2+1=5,当且仅当x+1=,即x=1时取“=”,故f(x)的最小值是2.【答案】D
12.已知x>0,y>0,且+=,则x+y的最小值为(
)
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】A
【解析】解法一:由题意得,x+y=(x+3)+y-3=2[(x+3)+y]-3=2+++2-3=++1≥2+1=5,
当且仅当=,+=时等号成立,即x=1,y=4时等号成立,∴x+y的最小值为5.
解法二:∵x>0,y>0,∴x+1>0,由+=得y=,
∴x+y=x+=x+=x+2+=(x+1)++1≥2+1=5,当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立,
∴x+y的最小值为5.
二、多选题
1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(
)
A.a2+b2≥8
B.≥
C.≥2
D.+≤1
【答案】AB
【解析】因为a>0,b>0,且a+b=4,所以a2+b2≥=8,即a2+b2≥8恒成立,故A正确;
由≤=2得,0
2.下列四个不等式中，解集为的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B,D
【解析】A选项，，所以的解集不可能为空集；
B选项，，而开口向上，所以解集为空集；
C选项，的解集为，所以不为空集；
D选项，当且仅当a=2时等号成立，而开口向下，所以为空集；故答案为：BD
3.已知函数，则下列判断正确的有
A.的最小值为
B.在区间，上是增函数
C.的最大值为1
D.无最大值
【答案】AC
【解析】解：，
当时，，当时，，由于在，上单调递减，
在，上单调递减，故错误，，，当且仅当时取等号，
，，综上所述的值域为，，故选项正确，选项错误，故选：.
4.关于的不等式的解集为，，，则下列正确的是
A.
B.关于的不等式的解集为
C.
D.关于的不等式的解集为，，
【答案】ACD
【解析】解：由已知可得且，3是方程的两根，正确，
则由根与系数的关系可得：，解得，，
则不等式可化为：，即，所以，错误，
，正确，
不等式可化为：，即，解得或，正确，故选：.
三、填空题
1.不等式组的解集是：
【答案】
【解析】解：化简得，由①得或解得；由②得或解得.所以原不等式组的解集为：.故答案为：
2.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则的最小值为 .
【答案】3
【解析】∵a,b都是正数,满足2a+b=3,则(2a+b)=5+≥(5+4)=3,
当且仅当且2a+b=3,即a=b=1时,取得最小值3.
3.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
.
【答案】{z|3≤z≤8}
【解析】解：∵z＝2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴z的取值范围是{z|3≤z≤8}.
4.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是 .
【答案】{m|1≤m<19}
【解析】①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.
若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x不可能恒大于0;若m=1,则y=3>0恒成立.
②当m2+4m-5≠0时,根据题意得,∴
解得1综上可知,1≤m<19.
5.若x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为
.
【答案】
【解析】解：由x+2y=4,得x+2y=4≥2,所以xy≤2.所以===2+≥2+=,
当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.故所求的最小值为.
6.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 .
【答案】，
【解析】解：时，不等式为，解集为，满足题意；时，应满足，解得；
综上知，实数的取值范围是，.故答案为：，.
四、解答题
1.已知.
(1)分别求和的最大值；
(2)求的最小值和最大值.
【答案】【解析】解：(1)，当且仅当时，等号成立，
，即的最大值为1；
，，，即的最大值为.
(2)由(1)知，，，，即的最小值为6；
，当且仅当时，等号成立，，
，，解得，即的最大值为30.
2.设.
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式().
【答案】(1)解：由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于
对于一切实数恒成立.所以.
(2)解：不等式等价于.
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，此时.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
3.已知m>0,n>0,不等式x2+mx-12<0的解集为{x|-6(1)求实数m,n的值;
(2)正实数a,b满足na+2mb=2,求的最小值.
【答案】(1)由题意可知,-6和n是方程x2+mx-12=0的两个根,∴解得
(2)由题意和(1)可得,2a+8b=2,即a+4b=1.∴(a+4b)=5+.
∵a>0,b>0,∴>0,>0.
∴=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=,b=时,等号成立.
∴的最小值为9.
4.设y=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2【答案】解析(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对于一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对于一切实数x恒成立.
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;
当a≠0时,由题意得解得a≥.所以实数a的取值范围是.
(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1};
当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,所以不等式的解集为;
当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1};②当-11,不等式的解集为;
③当a<-1时,-<1,不等式的解集为.
综上所述,当a<-1时,不等式的解集为;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-10时,不等式的解集为.
5.若不等式的解集是.
(1)求不等式的解集；
(2)已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)解：由题意知，关于的二次方程的两根为和，且，
由韦达定理得，解得，不等式即为，即，解得.因此，不等式的解集为；
(2)解：，由题意可知，关于的二次方程的两根为和，
由韦达定理得，解得，所以，不等式即为，即，
解得，因此，关于的不等式的解集为.
6.已知关于的不等式的解集为.
(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)若关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为，且，求的取值范围.
【答案】【解析】解：(Ⅰ)不等式的解集为，
所以和5是方程的两个实数解，由根与系数的关系知，，
解得，；
(Ⅱ)不等式可化为，解得，所以；
不等式化为，解得，所以，；
由，得，解得；所以的取值范围是.
7.已知.
(1)若方程在上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)解：因为在上有两个不相等的实数根，所以
解得.所以实数的取值范围为
(2)解：不等式，即，等价于
当，即时，，不等式无解；
当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为
综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为
8.已知关于x的不等式，其中.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足(其中Z为整数集).试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由
【答案】(1)解：当时，不等式化为，此时，
不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是，
当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是，
当时，不等式化为，此时，不等式的解集是，
综上：当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
(2)解：若B为有限集，则此时，要使B中元素个数最少，则最大，
，
当且仅当，即时，取等号，所以时，集合B中元素最少.
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精品试卷·第
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一、选择题
1.下列不等式中，正确的是
A.若，则
B.若，则
C.若，，，则
D.若，，，则
2.已知正数，满足，则的最小值是(
)
A.10
B.20
C.15
D.25
3.(2020·浙江省高一期末)不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
4.若，，且，则的最小值为
A.2
B.
C.
D.
5.“a>0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.不等式的解集为，则不等式的解集为(
)
A.或
B.
C.
D.或
7.已知实数，满足，，则a=的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
8.设，为正数，且，则的最小值为
A.
B.
C.
D.
9.已知正数a、b满足的最小值是(
)
A.6
B.12
C.24
D.36
10.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则的最小值是(
)
A.2
B.4
C.6
D.5
11.函数f(x)=(x>0)的最小值是(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
12.已知x>0,y>0,且+=,则x+y的最小值为(
)
A.5
B.6
C.7
D.8
二、多选题
1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(
)
A.a2+b2≥8
B.≥
C.≥2
D.+≤1
2.下列四个不等式中，解集为的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知函数，则下列判断正确的有
A.的最小值为
B.在区间，上是增函数
C.的最大值为1
D.无最大值
4.关于的不等式的解集为，，，则下列正确的是
A.
B.关于的不等式的解集为
C.
D.关于的不等式的解集为，，
三、填空题
1.不等式组的解集是：
2.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则的最小值为 .
3.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
.
4.设a+b=2,b>0,则取最小值时a的值为 .
5.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是 .
6.若x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为
.
四、解答题
1.已知.
(1)分别求和的最大值；
(2)求的最小值和最大值.
2.设.
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式().
3.设函数，
(1)解关于的不等式；
(2)若对任意的，，不等式恒成立，求的取值范围.
4.已知m>0,n>0,不等式x2+mx-12<0的解集为{x|-6(1)求实数m,n的值;
(2)正实数a,b满足na+2mb=2,求的最小值.
5.设y=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-26.若不等式的解集是.
(1)求不等式的解集；
(2)已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
7.已知关于的不等式的解集为.
(Ⅰ)求，的值；
(Ⅱ)若关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为，且，求的取值范围.
8.已知.
(1)若方程在上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
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