第三章 3.1 3.1.3 第1课时
1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝( )
A．3
B．－3
C．2
D．7
2．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝____.
4．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝____.
5．判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
第三章 3.1 3.1.3 第1课时
1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝( C )
A．3
B．－3
C．2
D．7
解析：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又f(－3)＝－f(3)＝－2，∴f(3)＝2，
∴f(3)＋f(0)＝2，故选C．
2．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：偶函数的图像关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误；奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确；若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域，选A．
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__12__.
解析：∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，
∴f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－16＋4＝－12，
又∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝－12，∴f(2)＝12.
4．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝__－1__.
解析：因为f(x)是奇函数，f(－1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(1)＝＝0，解得a＝－1.
经检验，a＝－1符合题意．
5．判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
解析：(1)由，得－2≤x<2，
∴函数f(x)的定义域为[－2,2)不关于原点对称，
故函数f(x)＝是非奇非偶函数．
(2)由1－x2≥0，得－1≤x≤1，∴|x＋2|＝x＋2，
∴|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，∴x≠0.
∴函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，
∴f(x)＝＝，
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)＝是奇函数．第三章 3.1 3.1.3 第1课时
请同学们认真完成
[练案22]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．如右图是偶函数y＝f(x)的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是( )
A．f(－2)－f(6)＝0
B．f(－2)－f(6)<0
C．f(－2)＋f(6)<0
D．f(－2)－f(6)>0
2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必过点( )
A．(a，f(－a))
B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a))
D．(a，f())
3．已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
5．若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( )
A．增函数且最小值是－1
B．增函数且最大值是－1
C．减函数且最大值是－1
D．减函数且最小值是－1
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是____.
7．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图像如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为____.
8．如果F(x)＝是奇函数，则f(x)＝____.
三、解答题(共20分)
9．(10分)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x－；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
10．(10分)定义域为R的单调函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，且f(3)＝6.
(1)求f(0)，f(1)；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且当x<0时，f(x)＝2x2－2，则f[f(－1)]＋f(2)＝( )
A．－8
B．－6
C．4
D．6
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是奇函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x3
B．y＝|x|
C．y＝－x2＋1
D．y＝
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(4)＋f(3)等于____.
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝____.
四、解答题(共10分)
7．判断函数f(x)＝的奇偶性．
第三章 3.1 3.1.3 第1课时
请同学们认真完成
[练案22]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．如右图是偶函数y＝f(x)的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是( B )
A．f(－2)－f(6)＝0
B．f(－2)－f(6)<0
C．f(－2)＋f(6)<0
D．f(－2)－f(6)>0
解析：由图像可知，f(2)2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必过点( C )
A．(a，f(－a))
B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a))
D．(a，f())
解析：x＝－a时，y＝f(－a)＝－f(a)．
3．已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( C )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，①
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，②
由①②得f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，
∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，得b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．故选A．
5．若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( C )
A．增函数且最小值是－1
B．增函数且最大值是－1
C．减函数且最大值是－1
D．减函数且最小值是－1
解析：∵奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是－1.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是____.
解析：依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.
7．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图像如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为__(－2,0)∪(2,5)__.
解析：由于函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关于坐标原点对称，由题中y＝f(x)在[0,5]上的图像知它在[－5,0)上的图像，由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
8．如果F(x)＝是奇函数，则f(x)＝__2x＋3__.
解析：设x<0，则－x>0，
∴F(－x)＝2(－x)－3，即F(－x)＝－2x－3，
又F(x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，
即F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.
三、解答题(共20分)
9．(10分)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x－；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解：(1)定义域为{x|x∈R，且x≠0}关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)函数定义域为{x|x>0}，定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(3)由f(x)＝知f(0)＝0＋0－1＝－1，
则f(－0)≠－f(0)．
又f(－1)＝－1，f(1)＝1，
∴f(－1)≠f(1)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
10．(10分)定义域为R的单调函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，且f(3)＝6.
(1)求f(0)，f(1)；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明．
解：(1)令x＝y＝0，则x＋y＝0，有f(0)＝f(0)＋f(0)，
所以f(0)＝0.
令x＝2，y＝1，则f(2＋1)＝f(3)＝f(2)＋f(1)，
因为f(3)＝6，f(2)＝f(1＋1)＝2f(1)，
所以3f(1)＝6，f(1)＝2.
(2)函数f(x)是奇函数．
证明：由(1)，得f(0)＝0，
∴f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且当x<0时，f(x)＝2x2－2，则f[f(－1)]＋f(2)＝( B )
A．－8
B．－6
C．4
D．6
解析：由f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，得函数f(x)是奇函数．∵当x<0时，f(x)＝2x2－2，
∴f(－1)＝2－2＝0，f[f(－1)]＝f(0)＝0.
f(－2)＝2×(－2)2－2＝2×4－2＝8－2＝6＝－f(2)，
则f(2)＝－6，则f[f(－1)]＋f(2)＝0－6＝－6.故选B．
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( D )
A．4
B．2
C．1
D．0
解析：∵偶函数y＝f(x)的图像关于y轴对称，
∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．
因此，若一根为x1，则它关于y轴对称的根为－x1；
若另一根为x2，则它关于y轴对称的根为－x2.
∴f(x)＝0的四根之和为x1＋(－x1)＋x2＋(－x2)＝0.
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( AC )
A．f(x)g(x)是奇函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项正确；对于选项B，|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选AC．
4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( CD )
A．y＝x3
B．y＝|x|
C．y＝－x2＋1
D．y＝
解析：对于A，y＝x3为奇函数，所以该选项不符合题意；对于B，x＞0时，y＝|x|＝x，所以函数y＝|x|的(0，＋∞)上为增函数，所以该选项不符合题意；对于C，该函数定义域为R，设y＝f(x)，显然f(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，且该函数在(0，＋∞)上单调递减，所以该选项符合题意；对于D，画出函数图像(图像略)，可知该选项符合题意．故选CD．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(4)＋f(3)等于__－2__.
解析：令x＝1得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
所以f(3)＋f(4)＝－2＋0＝－2.
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝__－1__.
解析：∵当x＞0时，f(x)＝2x－3，
∴f(2)＝22－3＝1，
又∴f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.
四、解答题(共10分)
7．判断函数f(x)＝的奇偶性．
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．
由于当x＝0时，f(0)＝2≠－f(0)，因此尽管x≠0时f(－x)＝－f(x)成立，但是不符合函数奇偶性的定义．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
