第三章 3.1 3.1.2 第2课时
请同学们认真完成
[练案21]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝3－x
D．f(x)＝－|x|
3．已知函数f(x)在R上是增函数，若a＋b>0，则下列结果中正确的是( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)>f(－a)－f(－b)
C．f(a)＋f(－a)>f(b)－f(－b)
D．f(a)－f(－a)>f(b)＋f(－b)
4．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5
B．10,1
C．5,1
D．12,5
5．函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数，且最小值为－2，最大值为1，那么|f(x)|在[－3，－1]上( )
A．最小值为－2，最大值为1
B．最小值为0，最大值为1
C．最小值为0，最大值为2
D．最小值为－2，最大值为0
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是____.
7．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若f(a2＋2a－2)≤f(a2－3a＋3)，则实数a的取值范围是___.
8．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[1,5]上的最大值为f(1)，则a的取值范围是____.
三、解答题(共20分)
9．(10分)已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
10．(10分)已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数f(x)＝的最大值是( )
A．1
B．2
C．
D．
2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是( )
A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)
B．在[a，b]上有最小值f(a)
C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－c
D．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
4．狄利克雷是德国著名数学家，函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论中正确的是( )
A．若x是无理数，则D[D(x)]＝0
B．函数D(x)的值域是[0,1]
C．D(－x)＝D(x)
D．若T≠0且T为有理数，则D(x＋T)＝D(x)对任意的x∈R恒成立
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为____.
6．函数f(x)＝(x＞0)的值域为____.
四、解答题(共10分)
7．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围；
(3)若x∈[t，t＋2]，试求y＝f(x)的最小值．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
请同学们认真完成
[练案21]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是( C )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由已知得：＞1，∴－1＜x＜0或0＜x＜1，故选C．
2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( A )
A．f(x)＝
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝3－x
D．f(x)＝－|x|
解析：因为f(x)＝＝1－，函数y＝－在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，故A符合题意．函数f(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增，故B不符合题意．函数f(x)＝3－x在(0，＋∞)上是减函数，故C不符合题意．函数f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是减函数，故D不符合题意．故选A．
3．已知函数f(x)在R上是增函数，若a＋b>0，则下列结果中正确的是( A )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)>f(－a)－f(－b)
C．f(a)＋f(－a)>f(b)－f(－b)
D．f(a)－f(－a)>f(b)＋f(－b)
解析：∵f(x)在R上为增函数，又a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
4．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( B )
A．10,5
B．10,1
C．5,1
D．12,5
解析：因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1；当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B．
5．函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数，且最小值为－2，最大值为1，那么|f(x)|在[－3，－1]上( C )
A．最小值为－2，最大值为1
B．最小值为0，最大值为1
C．最小值为0，最大值为2
D．最小值为－2，最大值为0
解析：可用排除法去掉A，D，再利用绝对值的性质排除B．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是__2__.
解析：由x＋－(－x＋3)＞0得：x＞1.
由x2－4x＋3－(－x＋3)＞0得：
x＞3或x＜0.
由x2－4x＋3－＞0得：
x＞5或x＜.
则f(x)＝
结合图像得：f(x)min＝f(1)＝－1＋3＝2.
7．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若f(a2＋2a－2)≤f(a2－3a＋3)，则实数a的取值范围是__[1，＋∞)__.
解析：本题考查利用函数的单调性解不等式．因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且f(a2＋2a－2)≤f(a2－3a＋3)，所以a2＋2a－2≥a2－3a＋3，解得a≥1，所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．
8．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[1,5]上的最大值为f(1)，则a的取值范围是__(－∞，－2]__.
解析：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝(x＋a－1)2－(a－1)2＋2，函数图像是对称轴为直线x＝1－a，开口向上的抛物线．
当1≤1－a<3，即－2
0时，函数在[1,5]上为增函数，当x＝5时取得最大值f(5)，不符合题意；当1－a>5，即a<－4时，函数在[1,5]上为减函数，当x＝1时取得最大值f(1)，符合题意．综上可知，a的取值范围是(－∞，－2]．
三、解答题(共20分)
9．(10分)已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)f(x)在[3,5]上为增函数，证明如下：
设任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵3≤x1∴x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)可知f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝.
10．(10分)已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又因为f()＝，f(3)＝5，
所以f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2在[2,4]上是单调函数，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数f(x)＝的最大值是( B )
A．1
B．2
C．
D．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2.故选B．
2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( C )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
解析：当a＞0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递增，
∴ymin＝a＋1，ymax＝2a＋1，
∴2a＋1－a－1＝2，
∴a＝2.
当a＜0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递减，
∴ymin＝2a＋1，
ymax＝a＋1，
∴a＋1－2a－1＝2，
∴a＝－2.
综上可知a＝±2.
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是( CD )
A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)
B．在[a，b]上有最小值f(a)
C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－c
D．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
解析：A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确．
4．狄利克雷是德国著名数学家，函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论中正确的是( CD )
A．若x是无理数，则D[D(x)]＝0
B．函数D(x)的值域是[0,1]
C．D(－x)＝D(x)
D．若T≠0且T为有理数，则D(x＋T)＝D(x)对任意的x∈R恒成立
解析：对于A，∵当x为有理数时，D(x)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，∴当x为有理数时，D[D(x)]＝D(1)＝1；当x为无理数时，D[D(x)]＝D(0)＝1，即不管x是有理数还是无理数，均有D[D(x)]＝1，故A不正确；对于B，函数D(x)的值域为{0,1}不是[0,1]，故B不正确；对于C，∵有理数的相反数还是有理数、无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有D(－x)＝D(x)，故C正确；对于D，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D(x＋T)＝D(x)对任意的x∈R恒成立，故D正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为__－4__.
解析：因为y＝在区间[2,4]上是减函数，y＝－3x在区间[2,4]上是减函数，所以函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上是减函数，所以f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4.
6．函数f(x)＝(x＞0)的值域为__(0,1]__.
解析：f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝＝1时取等号．
又f(x)＞0，所以0＜f(x)≤1，
故函数f(x)的值域为(0,1]．
四、解答题(共10分)
7．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围；
(3)若x∈[t，t＋2]，试求y＝f(x)的最小值．
解析：(1)∵f(x)是二次函数，且f(0)＝f(2)，
∴f(x)图像的对称轴是直线x＝1.
又f(x)的最小值为1，则可设f(x)＝k(x－1)2＋1.
∵f(0)＝3，∴k＝2.
∴f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)要使f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，
则2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜.
故实数a的取值范围是(0，)．
(3)由(1)知，y＝f(x)图像的对称轴为直线x＝1.
若t≥1，则y＝f(x)在[t，t＋2]上是增函数，
ymin＝f(t)＝2t2－4t＋3；
若t＋2≤1，即t≤－1，则y＝f(x)在[t，t＋2]上是减函数，
ymin＝f(t＋2)＝2t2＋4t＋3；
若t＜1＜t＋2，即－1＜t＜1，则ymin＝f(1)＝1.
综上，当t≥1时，ymin＝2t2－4t＋3；
当－1＜t＜1时，ymin＝1；
当t≤－1时，ymin＝2t2＋4t＋3.第三章 3.1 3.1.2 第2课时
1．已知函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，则f(x)的最大值为( B )
A．4
B．6
C．1
D．2
3．函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝___.
4．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为____，最小值为____.
5．已知f(x)＝，x∈[2,6]．
(1)证明：f(x)是定义域上的减函数；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
1．已知函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( C )
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
解析：由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值f(－2)；当x＝1时，有最大值2.
2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，则f(x)的最大值为( B )
A．4
B．6
C．1
D．2
解析：f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])为增函数，所以最小值为f(0)＝a＝－2，最大值f(2)＝8＋a＝6.
3．函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝__4__.
解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，
所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
4．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为____，最小值为____.
解析：f(x)＝＝＝1－，
∵函数f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝，
f(x)max＝f(4)＝＝.
5．已知f(x)＝，x∈[2,6]．
(1)证明：f(x)是定义域上的减函数；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解析：(1)设任意实数x1∈[2,6]，x2∈[2,6]，且x1∴Δx＝x2－x1>0.
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝＝，
∵x1－x2＝－Δx<0，x2－1>0，x1－1>0，
∴<0，∴Δy<0.
故函数f(x)是定义域上的减函数．
(2)由(1)知f(x)是定义域上的减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝1,
f(x)min＝f(6)＝.