第三章 3.2 第2课时
请同学们认真完成
[练案25]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
2．若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f()>0.则( )
A．f(x)在[a，]上一定有零点
B．f(x)在[，b]上一定有零点
C．f(x)在[a，]上一定无零点
D．f(x)在[，b]上一定无零点
3．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是( )
A．(－∞，)
B．(，＋∞)
C．(，3)
D．(1，)
4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，
f(0.64)<0,
f(0.72)>0,
f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68
B．0.72
C．0.7
D．0.6
5．已知x1，x2是二次方程f(x)＝0的两个不同实根，x3，x4是二次方程g(x)＝0的两个不同实根，若g(x1)·g(x2)<0，则( )
A．x1，x2介于x3和x4之间
B．x3，x4介于x1和x2之间
C．x1与x2相邻，x3与x4相邻
D．x1，x2与x3，x4相间排列
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则实数a，b，m，n的大小关系是____.
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是__.
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
8．若定义在[－1,1]上的函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围为____.
三、解答题(共20分)
9．(10分)求函数y＝x3－2x2－3x的零点，并作出它的图像．
10．(10分)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知函数f(x)在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值( )
A．5次
B．6次
C．7次
D．8次
2．已知函数f(x)＝ax2－x＋2，函数g(x)＝若函数y＝f(x)－g(x)恰好有2个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，0)∪
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．若函数f(x)的图像是连续的，且函数f(x)的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，，内，则与f(0)符号不同的是( )
A．f(4)
B．f(2)
C．f(1)
D．f
E．f
4．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是( )
A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数
B．b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根
C．y＝f(x)的图像关于点(0，c)对称
D．方程f(x)＝0最多有两个实根
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．给出以下结论，其中正确结论的序号是____.
①函数图像通过零点时，函数值一定变号；
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；
④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．
6．设函数f(x)＝，
若f(－4)＝2,
f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是____.
四、解答题(共10分)
7．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
第三章 3.2 第2课时
请同学们认真完成
[练案25]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为( C )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：∵f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2，－1)、(－1,0)、(1,2)内，故选C．
2．若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f()>0.则( B )
A．f(x)在[a，]上一定有零点
B．f(x)在[，b]上一定有零点
C．f(x)在[a，]上一定无零点
D．f(x)在[，b]上一定无零点
解析：a<
3．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是( B )
A．(－∞，)
B．(，＋∞)
C．(，3)
D．(1，)
解析：令f(x)＝x2－2mx＋4，由题意可知
即所以即m>.
4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，
f(0.64)<0,
f(0.72)>0,
f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( C )
A．0.68
B．0.72
C．0.7
D．0.6
解析：已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
5．已知x1，x2是二次方程f(x)＝0的两个不同实根，x3，x4是二次方程g(x)＝0的两个不同实根，若g(x1)·g(x2)<0，则( D )
A．x1，x2介于x3和x4之间
B．x3，x4介于x1和x2之间
C．x1与x2相邻，x3与x4相邻
D．x1，x2与x3，x4相间排列
解析：因为g(x)＝0有两个不同实根x3，x4，又g(x1)g(x2)<0，则g(x)在x1和x2之间有且只有一个实根，则另一个实根不在x1和x2之间，所以x1，x2与x3，x4相间排列．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则实数a，b，m，n的大小关系是__m＜a＜b＜n__.
解析：由题意知，f(x)的图像是开口向下的抛物线，f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，如图所示．
所以m＜a＜b＜n.
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是__(－∞，－2)∪(3，＋∞).
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
解析：由表中给出的数据可以得到f(－2)＝0，f(3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f(－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x∈(－∞，－2)时都有f(x)>0，同理可得当x∈(3，＋∞)时也有f(x)>0，故使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
8．若定义在[－1,1]上的函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围为__(－∞，－1)∪__.
解析：由题意可知f(－1)·f(1)＜0，
即(－5a＋1)(a＋1)＜0，
解得a＜－1或a＞.
∴a∈(－∞，－1)∪.
三、解答题(共20分)
9．(10分)求函数y＝x3－2x2－3x的零点，并作出它的图像．
解：∵x3－2x2－3x＝x(x2－2x－3)＝x(x－3)(x＋1)，
∴函数的零点为－1,0,3.三个零点把x轴分成四个区间：(－∞，－1]，(－1,0]，(0,3]，(3，＋∞)，在这四个区间内，取x的一些值，列出这个函数的对应值表如下：
x
…
－2
－1
－
0
1
2
3
4
…
y
…
－10
0
0
－4
－6
0
20
…
在直角坐标系内描点、连线，这个函数的图像如下图所示．
10．(10分)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
解析：(1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0.
由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，
即或，
∴1(2)若a＝，则f(x)＝x3－x＋，
∴f(－1)＝>0,
f(0)＝>0,
f(1)＝－<0，
∴函数零点在(0,1)，又f()＝0，
∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知函数f(x)在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值( B )
A．5次
B．6次
C．7次
D．8次
解析：设对区间(1,2)二等分n次，初始区间长度为1.第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为；……；第5次计算后区间长度为＞0.02；第6次计算后区间长度为＜0.02.故至少计算6次．故选B．
2．已知函数f(x)＝ax2－x＋2，函数g(x)＝若函数y＝f(x)－g(x)恰好有2个不同的零点，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，0)
B．(－∞，0)∪
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：依题意有f(x)的图像与g(x)的图像有2个不同的交点，且f(x)的图像过点(0,2)．当a＝0时，f(x)＝2－x，此时g(x)的图像与f(x)的图像仅有1个交点，舍去．
当a＜0时，f(x)的图像是开口向下且过点(0,2)的抛物线，此时f(x)与g(x)的图像一定有2个不同的交点．
当a＞0时，f(x)的图像是开口向上且过点(0,2)，对称轴为直线x＝＞0的抛物线．当f(x)＝ax2－x＋2与g(x)＝x(－2＜x＜2)的图像有且只有一个交点时，可求得a＝.要使f(x)与g(x)有2个不同的交点，只需0＜a＜.
综上所述，a的取值范围为(－∞，0)∪.
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．若函数f(x)的图像是连续的，且函数f(x)的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，，内，则与f(0)符号不同的是( ABD )
A．f(4)
B．f(2)
C．f(1)
D．f
E．f
解析：由二分法的步骤可知：
①零点在(0,4)内，则有f(0)·f(4)＜0，不妨设f(0)＞0，f(4)＜0，取中点2；
②零点在(0,2)内，则有f(0)·f(2)＜0，则f(0)＞0，f(2)＜0，取中点1；
③零点在(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，则f(1)＞0，f(2)＜0，取中点；
④零点在内，则有f(1)·f＜0，则f(1)＞0，f＜0，取中点；
⑤零点在内，则有f·f＜0，则f＞0，f＜0.
所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f，故选ABD．
4．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是( ABC )
A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数
B．b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根
C．y＝f(x)的图像关于点(0，c)对称
D．方程f(x)＝0最多有两个实根
解析：当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x＜0，f(x)＝0有一解x＝－，B正确，结合图像(如图)知C正确，D不正确．故选ABC．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．给出以下结论，其中正确结论的序号是__②③__.
①函数图像通过零点时，函数值一定变号；
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；
④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．
解析：零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．
6．设函数f(x)＝，
若f(－4)＝2,
f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是__3__.
解析：由已知得，
∴f(x)＝，作图像如图所示．
由图像可知f(x)＝x的解的个数为3.
四、解答题(共10分)
7．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
解析：∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0，
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在[0,1]内选取二等分点，
则f()＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴f(x)在区间(0，)和(，1)上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．第三章 3.2 第2课时
1．函数图像与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )
2．函数f(x)＝5－x2的负数零点的近似值(精确到0.1)是( )
A．－2.0
B．－2.1
C．－2.2
D．－2.3
3．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间____.
4．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.135
15.552
－3.92
10.88
52.488
232.064
可以看出函数至少有____个零点．
5．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．
第三章 3.2 第2课时
1．函数图像与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( B )
解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．
2．函数f(x)＝5－x2的负数零点的近似值(精确到0.1)是( C )
A．－2.0
B．－2.1
C．－2.2
D．－2.3
解析：f(－2.1)＝5－4.41＝0.59>0，
f(－2.3)＝5－5.29＝－0.29<0，故选C．
3．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间__(1.25，1.5)__.
解析：本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0，f(1.5)>0和f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25，1.5)．
4．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.135
15.552
－3.92
10.88
52.488
232.064
可以看出函数至少有__2__个零点．
解析：由题表可知函数f(x)的零点至少有一个在(2,3)内，一个在(3,4)内．
5．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．
解析：设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图像开口向上，零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，
由，即，
解得，∴实数k的取值范围是.