第三章 3.3 3.4
1．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图像及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元
B．300元
C．390元
D．280元
3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是____.
4．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个____.
5．南博汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调查表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
第三章 3.3 3.4
1．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图像及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为( A )
解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图像是重合的线段，由此排除C，D，再根据v1＜v2，可知两人的运动情况均是先慢后快，图像是折线且前“缓”后“陡”，故图示A分析正确．
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( B )
A．310元
B．300元
C．390元
D．280元
解析：由图像知，该一次函数过(1,800)，(2,1
300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是__30__.
解析：一年的总运费为6×＝(万元)．
一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
4．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个__60__.
解析：设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元，y取得最大值．
5．南博汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调查表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
解析：(1)∵y＝29－25－x，∴y＝－x＋4(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
(2)z＝y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)，
故当x＝1.5时，zmax＝50.
所以当销售单价为29－1.5＝27.5(万元)时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．第三章 3.3 3.4
请同学们认真完成
[练案26]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．一辆汽车在某段路中的行驶路程s关于时间t的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )
A．一次函数
B．二次函数
C．分段函数
D．无法确定
2．用长度为24
m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为( )
A．3
m
B．4
m
C．6
m
D．12
m
3．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量
x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( )
A．52
B．52.5
C．53
D．52或53．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝
其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15
B．40
C．25
D．130
5．如图1，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿B→C→D→A的顺序运动，得到以点P运动的路程x为自变量，△ABP的面积y为因变量的函数的图像，如图2，则梯形ABCD的面积是( )
A．96
B．104
C．108
D．112
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是___.
7．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本就增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，那么总利润L(Q)的最大值是____万元，这时产品的产量为____.(总利润＝总收入－成本)
8．一批救灾物资随51辆汽车从某市以v
km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400
km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要____h.
三、解答题(共20分)
9．(10分)有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．
10．(10分)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15
000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如图所示，从某幢建筑物10
m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M离墙1
m，离地面
m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )
A．2
m
B．3
m
C．4
m
D．5
m
2．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( )
A．1
500元
B．1
550元
C．1
750元
D．1
800元
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示．给出下列说法，其中正确的是( )
A．前5
min温度增加的速度越来越快
B．前5
min温度增加的速度越来越慢
C．5
min以后温度保持匀速增加
D．5
min以后温度保持不变
E．温度随时间的变化情况无法判断
4．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则( )
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．某零售商购买某种商品的进价P(单位：元/千克)与数量x(单位：千克)之间的函数关系的图像如图所示．现此零售商仅有现金2
700元，他最多可购买这种商品____千克．
6．甲工厂八年来某种产品的年产量y与年份代号x的函数关系如图所示．现有下列四种说法：
①前三年该产品的年产量增长速度越来越快；
②前三年该产品的年产量增长速度越来越慢；
③第三年后该产品停止生产；
④第三年后该产品的年产量保持不变．
其中说法正确的是____.
四、解答题(共10分)
7．某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)．(注：利润与投资额的单位均为万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润f(x)，g(x)表示为投资额x的函数；
(2)该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？
第三章 3.3 3.4
请同学们认真完成
[练案26]
A级 基础巩固
一、单选题(每小题5分，共25分)
1．一辆汽车在某段路中的行驶路程s关于时间t的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( C )
A．一次函数
B．二次函数
C．分段函数
D．无法确定
解析：由题图知在不同时段内，路程曲线不同，故函数模型为分段函数．
2．用长度为24
m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为( A )
A．3
m
B．4
m
C．6
m
D．12
m
解析：设矩形的长为x，则宽为(24－2x)，则矩形的面积为S＝(24－2x)x＝－(x2－12x)＝－(x－6)2＋18，所以当x＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3
m.
3．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量
x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( D )
A．52
B．52.5
C．53
D．52或53
解析：因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝－2＋，
所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝
其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( C )
A．15
B．40
C．25
D．130
解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．
5．如图1，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿B→C→D→A的顺序运动，得到以点P运动的路程x为自变量，△ABP的面积y为因变量的函数的图像，如图2，则梯形ABCD的面积是( B )
A．96
B．104
C．108
D．112
解析：从图2可看出，BC＝8，CD＝10，DA＝10，在图1中，过点D作AB的垂线，垂足为E，可推得AE＝6，AB＝16，所以梯形的面积为(DC＋AB)·BC＝(10＋16)×8＝104，故选B．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是__y＝x(x∈N＋)__.
解析：依题意，设新价为b，则有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%.化简，得b＝a.
∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，即y＝x(x∈N＋)．
7．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本就增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，那么总利润L(Q)的最大值是__250__万元，这时产品的产量为__300__.(总利润＝总收入－成本)
解析：L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．
8．一批救灾物资随51辆汽车从某市以v
km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400
km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要__10__h.
解析：设全部物资到达灾区所需时间最少为t
h，
由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了
km所用的时间，
因此，t＝＝＋≥2＝10.
当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．
故最少需要10
h.
三、解答题(共20分)
9．(10分)有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．
解析：设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，
则由题图可得9x＋πx＋6y＝l，
所以6y＝l－(9＋π)·x，
所以S＝x2＋4xy＝x2＋x·[l－(9＋π)·x]＝－x2＋lx＝－·2＋.
要使窗户所透过的光线最多，只需窗户的面积S最大．
由6y＞0，得0＜x＜.
因为0＜＜，
所以当x＝，y＝＝，即＝时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝.
10．(10分)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15
000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1
200－10x.
即y＝
(2)设旅行社所获利润为S元，
则当0＜x≤30时，S＝900x－15
000；
当30＜x≤75时，S＝x(1
200－10x)－15
000＝－10x2＋1
200x－15
000.
即S＝
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15
000为增函数，
所以x＝30时，Smax＝12
000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1
200x－15
000＝－10(x－60)2＋21
000，
即x＝60时，Smax＝21
000＞12
000.
所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
B级 素养提升
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如图所示，从某幢建筑物10
m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M离墙1
m，离地面
m，则水流落地点B离墙的距离OB是( B )
A．2
m
B．3
m
C．4
m
D．5
m
解析：以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y＝a(x－1)2＋，由条件(0,10)在抛物线上，可得10＝a＋，a＝－，
所以y＝－(x－1)2＋，设B(x,0)(x＞1)，
代入方程得：(x－1)2＝4，所以x＝3.
2．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( A )
A．1
500元
B．1
550元
C．1
750元
D．1
800元
解析：设该顾客在此商场的购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元．
由题可知，y＝
∵y＝50＞25，∴x＞1
300，
∴0.1(x－1
300)＋25＝50，解得x＝1
550.
1
550－50＝1
500(元)．
故此人购物实际所付金额为1
500元．
二、多选题(每小题5分，共10分)
3．在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示．给出下列说法，其中正确的是( BD )
A．前5
min温度增加的速度越来越快
B．前5
min温度增加的速度越来越慢
C．5
min以后温度保持匀速增加
D．5
min以后温度保持不变
E．温度随时间的变化情况无法判断
解析：温度y关于时间t的图像是先凸后平，即5
min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5
min后y关于t的增量保持为0，则BD正确．
4．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则( ABC )
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
解析：由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1＝0.5x＋1，故A、B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C正确；当x＝8时，y1＝0.5×8＋1＝5，y2＝×8＋＝，因为y1＞y2，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故D不正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．某零售商购买某种商品的进价P(单位：元/千克)与数量x(单位：千克)之间的函数关系的图像如图所示．现此零售商仅有现金2
700元，他最多可购买这种商品__90__千克．
解析：由题意得，购买这种商品所需费用y(单位：元)与数量x(单位：千克)之间的函数关系式为y＝从而易得30×50＜2
700＜30×100，即该零售商购买这种商品的数量应在50千克与100千克之间，故最多可购买这种商品＝90(千克)．
6．甲工厂八年来某种产品的年产量y与年份代号x的函数关系如图所示．现有下列四种说法：
①前三年该产品的年产量增长速度越来越快；
②前三年该产品的年产量增长速度越来越慢；
③第三年后该产品停止生产；
④第三年后该产品的年产量保持不变．
其中说法正确的是__②④__.
解析：设年产量y与年份代号x的关系为f(x)，由图，可知前三年该产品的年产量的增长速度越来越慢，故①错误，②正确；由图，可知从第四年开始该产品的年产量不发生变化，且f(4)≠0，故③错误，④正确．
四、解答题(共10分)
7．某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)．(注：利润与投资额的单位均为万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润f(x)，g(x)表示为投资额x的函数；
(2)该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？
解析：(1)由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，则f(1)＝k1＝0.25，g(4)＝2k2＝2.5，k2＝1.25.
所以f(x)＝0.25x(x≥0)，
g(x)＝1.25(x≥0)．
(2)设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为(10－x)万元．
y＝f(10－x)＋g(x)＝0.25(10－x)＋1.25(0≤x≤10)，
令t＝，则y＝－0.25t2＋1.25t＋2.5，
所以当t＝2.5，即x＝6.25时，收益最大，ymax＝万元．
答：投资B产品6.25万元，A产品3.75万元时，能获得最大利润，最大利润为万元．
